Theorem bezoutlemzz 10391

Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlemex 10390 but where ' z ' is any integer, not just a nonnegative one. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemzz	|- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, d, x, y   B, d, x, y   z, A, d   z, B

Proof of Theorem bezoutlemzz

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemex 10390	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
2		nfv 1461	. . . . . . 7 |- F/ z ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 )
3		nfra1 2397	. . . . . . 7 |- F/ z A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) )
4	2, 3	nfan 1497	. . . . . 6 |- F/ z ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) )
5		simpr 108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ z e. ZZ ) /\ z e. NN0 ) -> z e. NN0 )
6		rsp 2411	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> ( z e. NN0 -> ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
7	6	ad2antrr 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ z e. ZZ ) /\ z e. NN0 ) -> ( z e. NN0 -> ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
8	5, 7	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ z e. ZZ ) /\ z e. NN0 ) -> ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) )
9	8	adantlll 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ z e. NN0 ) -> ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) )
10		breq1 3788	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = -u z -> ( w || d <-> -u z || d ) )
11		breq1 3788	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = -u z -> ( w || A <-> -u z || A ) )
12		breq1 3788	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = -u z -> ( w || B <-> -u z || B ) )
13	11, 12	anbi12d 456	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = -u z -> ( ( w || A /\ w || B ) <-> ( -u z || A /\ -u z || B ) ) )
14	10, 13	imbi12d 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = -u z -> ( ( w || d -> ( w || A /\ w || B ) ) <-> ( -u z || d -> ( -u z || A /\ -u z || B ) ) ) )
15		breq1 3788	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = w -> ( z || d <-> w || d ) )
16		breq1 3788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = w -> ( z || A <-> w || A ) )
17		breq1 3788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = w -> ( z || B <-> w || B ) )
18	16, 17	anbi12d 456	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = w -> ( ( z || A /\ z || B ) <-> ( w || A /\ w || B ) ) )
19	15, 18	imbi12d 232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = w -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) <-> ( w || d -> ( w || A /\ w || B ) ) ) )
20	19	cbvralv 2577	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) <-> A. w e. NN0 ( w || d -> ( w || A /\ w || B ) ) )
21	20	biimpi 118	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> A. w e. NN0 ( w || d -> ( w || A /\ w || B ) ) )
22	21	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> A. w e. NN0 ( w || d -> ( w || A /\ w || B ) ) )
23		simpr 108	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> -u z e. NN0 )
24	14, 22, 23	rspcdva 2707	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> ( -u z || d -> ( -u z || A /\ -u z || B ) ) )
25	24	adantlll 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> ( -u z || d -> ( -u z || A /\ -u z || B ) ) )
26		simplr 496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> z e. ZZ )
27		simpllr 500	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) -> d e. NN0 )
28	27	adantr 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> d e. NN0 )
29	28	nn0zd 8467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> d e. ZZ )
30		negdvdsb 10211	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( z || d <-> -u z || d ) )
31	26, 29, 30	syl2anc 403	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> ( z || d <-> -u z || d ) )
32		simplll 499	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) -> A e. NN0 )
33	32	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> A e. NN0 )
34	33	nn0zd 8467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> A e. ZZ )
35		negdvdsb 10211	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( z || A <-> -u z || A ) )
36	26, 34, 35	syl2anc 403	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> ( z || A <-> -u z || A ) )
37		simpllr 500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) -> B e. NN0 )
38	37	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> B e. NN0 )
39	38	nn0zd 8467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> B e. ZZ )
40		negdvdsb 10211	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( z || B <-> -u z || B ) )
41	26, 39, 40	syl2anc 403	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> ( z || B <-> -u z || B ) )
42	36, 41	anbi12d 456	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> ( ( z || A /\ z || B ) <-> ( -u z || A /\ -u z || B ) ) )
43	25, 31, 42	3imtr4d 201	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) )
44		elznn0 8366	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ZZ <-> ( z e. RR /\ ( z e. NN0 \/ -u z e. NN0 ) ) )
45	44	simprbi 269	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ZZ -> ( z e. NN0 \/ -u z e. NN0 ) )
46	45	adantl 271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) -> ( z e. NN0 \/ -u z e. NN0 ) )
47	9, 43, 46	mpjaodan 744	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) -> ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) )
48	47	ex 113	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) -> ( z e. ZZ -> ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
49	4, 48	ralrimi 2432	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) -> A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) )
50	49	ex 113	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
51	50	anim1d 329	. . 3 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
52	51	reximdva 2463	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> ( E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
53	1, 52	mpd 13	1 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 661   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   E.wrex 2349   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   RRcr 6980   + caddc 6984   x. cmul 6986   -ucneg 7280   NN0cn0 8288   ZZcz 8351   || cdvds 10195

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-q 8705  df-rp 8735  df-fz 9030  df-fl 9274  df-mod 9325  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-cj 9729  df-re 9730  df-im 9731  df-rsqrt 9884  df-abs 9885  df-dvds 10196

This theorem is referenced by:  bezoutlemaz  10392