Theorem bezoutlemex 10390

Description: Lemma for Bézout's identity. Existence of a number which we will later show to be the greater common divisor and its decomposition into cofactors. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 3-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemex	|- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, d, x, y   z, A, d   B, d, x, y   z, B

Proof of Theorem bezoutlemex

Dummy variables a b s t w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5540	. . . . . . . 8 |- ( y = t -> ( B x. y ) = ( B x. t ) )
2	1	oveq2d 5548	. . . . . . 7 |- ( y = t -> ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) = ( ( A x. x ) + ( B x. t ) ) )
3	2	eqeq2d 2092	. . . . . 6 |- ( y = t -> ( d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> d = ( ( A x. x ) + ( B x. t ) ) ) )
4	3	cbvrexv 2578	. . . . 5 |- ( E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. t ) ) )
5	4	rexbii 2373	. . . 4 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> E. x e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. t ) ) )
6		oveq2 5540	. . . . . . . 8 |- ( x = s -> ( A x. x ) = ( A x. s ) )
7	6	oveq1d 5547	. . . . . . 7 |- ( x = s -> ( ( A x. x ) + ( B x. t ) ) = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
8	7	eqeq2d 2092	. . . . . 6 |- ( x = s -> ( d = ( ( A x. x ) + ( B x. t ) ) <-> d = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
9	8	rexbidv 2369	. . . . 5 |- ( x = s -> ( E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. t ) ) <-> E. t e. ZZ d = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
10	9	cbvrexv 2578	. . . 4 |- ( E. x e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. t ) ) <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
11	5, 10	bitri 182	. . 3 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
12		simpl 107	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> A e. NN0 )
13		simpr 108	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> B e. NN0 )
14	11, 12, 13	bezoutlemb 10389	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> [. B / d ]. E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) )
15		dfsbcq2 2818	. . . 4 |- ( b = B -> ( [ b / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> [. B / d ]. E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
16		breq2 3789	. . . . . . . . 9 |- ( b = B -> ( z || b <-> z || B ) )
17	16	anbi2d 451	. . . . . . . 8 |- ( b = B -> ( ( z || A /\ z || b ) <-> ( z || A /\ z || B ) ) )
18	17	imbi2d 228	. . . . . . 7 |- ( b = B -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) <-> ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
19	18	ralbidv 2368	. . . . . 6 |- ( b = B -> ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
20	19	anbi1d 452	. . . . 5 |- ( b = B -> ( ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
21	20	rexbidv 2369	. . . 4 |- ( b = B -> ( E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
22	15, 21	imbi12d 232	. . 3 |- ( b = B -> ( ( [ b / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) <-> ( [. B / d ]. E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) ) )
23	11, 12, 13	bezoutlema 10388	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> [. A / d ]. E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) )
24		dfsbcq2 2818	. . . . . 6 |- ( a = A -> ( [ a / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> [. A / d ]. E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
25		breq2 3789	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = A -> ( z || a <-> z || A ) )
26	25	anbi1d 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = A -> ( ( z || a /\ z || b ) <-> ( z || A /\ z || b ) ) )
27	26	imbi2d 228	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = A -> ( ( z || d -> ( z || a /\ z || b ) ) <-> ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) ) )
28	27	ralbidv 2368	. . . . . . . . . 10 |- ( a = A -> ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || a /\ z || b ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) ) )
29	28	anbi1d 452	. . . . . . . . 9 |- ( a = A -> ( ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || a /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
30	29	rexbidv 2369	. . . . . . . 8 |- ( a = A -> ( E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || a /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
31	30	imbi2d 228	. . . . . . 7 |- ( a = A -> ( ( [ b / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || a /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) <-> ( [ b / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) ) )
32	31	ralbidv 2368	. . . . . 6 |- ( a = A -> ( A. b e. NN0 ( [ b / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || a /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) <-> A. b e. NN0 ( [ b / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) ) )
33	24, 32	imbi12d 232	. . . . 5 |- ( a = A -> ( ( [ a / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> A. b e. NN0 ( [ b / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || a /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) ) <-> ( [. A / d ]. E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> A. b e. NN0 ( [ b / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) ) ) )
34		breq1 3788	. . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( z || d <-> w || d ) )
35		breq1 3788	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( z || a <-> w || a ) )
36		breq1 3788	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( z || b <-> w || b ) )
37	35, 36	anbi12d 456	. . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( ( z || a /\ z || b ) <-> ( w || a /\ w || b ) ) )
38	34, 37	imbi12d 232	. . . . . . 7 |- ( z = w -> ( ( z || d -> ( z || a /\ z || b ) ) <-> ( w || d -> ( w || a /\ w || b ) ) ) )
39	38	cbvralv 2577	. . . . . 6 |- ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || a /\ z || b ) ) <-> A. w e. NN0 ( w || d -> ( w || a /\ w || b ) ) )
40	11, 39, 12, 13	bezoutlemmain 10387	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> A. a e. NN0 ( [ a / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> A. b e. NN0 ( [ b / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || a /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) ) )
41	33, 40, 12	rspcdva 2707	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> ( [. A / d ]. E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> A. b e. NN0 ( [ b / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) ) )
42	23, 41	mpd 13	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> A. b e. NN0 ( [ b / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
43	22, 42, 13	rspcdva 2707	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> ( [. B / d ]. E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
44	14, 43	mpd 13	1 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   [wsb 1685   A.wral 2348   E.wrex 2349   [.wsbc 2815   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   + caddc 6984   x. cmul 6986   NN0cn0 8288   ZZcz 8351   || cdvds 10195

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-q 8705  df-rp 8735  df-fz 9030  df-fl 9274  df-mod 9325  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-cj 9729  df-re 9730  df-im 9731  df-rsqrt 9884  df-abs 9885  df-dvds 10196

This theorem is referenced by:  bezoutlemzz  10391