Theorem bj-findis 10774

Description: Principle of induction, using implicit substitutions (the biconditional versions of the hypotheses are implicit substitutions, and we have weakened them to implications). Constructive proof (from CZF). See bj-bdfindis 10742 for a bounded version not requiring ax-setind 4280. See finds 4341 for a proof in IZF. From this version, it is easy to prove of finds 4341, finds2 4342, finds1 4343. (Contributed by BJ, 22-Dec-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-findis.nf0	|- F/ x ps
bj-findis.nf1	|- F/ x ch
bj-findis.nfsuc	|- F/ x th
bj-findis.0	|- ( x = (/) -> ( ps -> ph ) )
bj-findis.1	|- ( x = y -> ( ph -> ch ) )
bj-findis.suc	|- ( x = suc y -> ( th -> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
bj-findis	|- ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) -> A. x e. om ph )

Distinct variable groups:   x, y   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x, y)   ch( x, y)   th( x, y)

Proof of Theorem bj-findis

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nn0suc 10759	. . . . 5 |- ( z e. om <-> ( z = (/) \/ E. y e. om z = suc y ) )
2		pm3.21 260	. . . . . . . 8 |- ( ps -> ( z = (/) -> ( z = (/) /\ ps ) ) )
3	2	ad2antrr 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) /\ A. y e. z ( y e. om -> ch ) ) -> ( z = (/) -> ( z = (/) /\ ps ) ) )
4		pm2.04 81	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. z -> ( y e. om -> ch ) ) -> ( y e. om -> ( y e. z -> ch ) ) )
5	4	ralimi2 2423	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. z ( y e. om -> ch ) -> A. y e. om ( y e. z -> ch ) )
6		imim2 54	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch -> th ) -> ( ( y e. z -> ch ) -> ( y e. z -> th ) ) )
7	6	ral2imi 2427	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. om ( ch -> th ) -> ( A. y e. om ( y e. z -> ch ) -> A. y e. om ( y e. z -> th ) ) )
8	7	imp 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. y e. om ( ch -> th ) /\ A. y e. om ( y e. z -> ch ) ) -> A. y e. om ( y e. z -> th ) )
9	5, 8	sylan2 280	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. y e. om ( ch -> th ) /\ A. y e. z ( y e. om -> ch ) ) -> A. y e. om ( y e. z -> th ) )
10		r19.29 2494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. y e. om ( y e. z -> th ) /\ E. y e. om z = suc y ) -> E. y e. om ( ( y e. z -> th ) /\ z = suc y ) )
11		vex 2604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. _V
12	11	sucid 4172	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. suc y
13		eleq2 2142	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = suc y -> ( y e. z <-> y e. suc y ) )
14	12, 13	mpbiri 166	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = suc y -> y e. z )
15		ax-1 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = suc y -> ( ( y e. z -> th ) -> z = suc y ) )
16		pm2.27 39	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. z -> ( ( y e. z -> th ) -> th ) )
17	15, 16	anim12ii 335	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z = suc y /\ y e. z ) -> ( ( y e. z -> th ) -> ( z = suc y /\ th ) ) )
18	14, 17	mpdan 412	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = suc y -> ( ( y e. z -> th ) -> ( z = suc y /\ th ) ) )
19	18	impcom 123	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. z -> th ) /\ z = suc y ) -> ( z = suc y /\ th ) )
20	19	reximi 2458	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. om ( ( y e. z -> th ) /\ z = suc y ) -> E. y e. om ( z = suc y /\ th ) )
21	10, 20	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. y e. om ( y e. z -> th ) /\ E. y e. om z = suc y ) -> E. y e. om ( z = suc y /\ th ) )
22	21	ex 113	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. om ( y e. z -> th ) -> ( E. y e. om z = suc y -> E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) )
23	9, 22	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y e. om ( ch -> th ) /\ A. y e. z ( y e. om -> ch ) ) -> ( E. y e. om z = suc y -> E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) )
24	23	adantll 459	. . . . . . 7 |- ( ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) /\ A. y e. z ( y e. om -> ch ) ) -> ( E. y e. om z = suc y -> E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) )
25	3, 24	orim12d 732	. . . . . 6 |- ( ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) /\ A. y e. z ( y e. om -> ch ) ) -> ( ( z = (/) \/ E. y e. om z = suc y ) -> ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) ) )
26	25	ex 113	. . . . 5 |- ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) -> ( A. y e. z ( y e. om -> ch ) -> ( ( z = (/) \/ E. y e. om z = suc y ) -> ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) ) ) )
27	1, 26	syl7bi 163	. . . 4 |- ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) -> ( A. y e. z ( y e. om -> ch ) -> ( z e. om -> ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) ) ) )
28	27	alrimiv 1795	. . 3 |- ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) -> A. z ( A. y e. z ( y e. om -> ch ) -> ( z e. om -> ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) ) ) )
29		nfv 1461	. . . . 5 |- F/ x y e. om
30		bj-findis.nf1	. . . . 5 |- F/ x ch
31	29, 30	nfim 1504	. . . 4 |- F/ x ( y e. om -> ch )
32		nfv 1461	. . . . 5 |- F/ x z e. om
33		nfv 1461	. . . . . . 7 |- F/ x z = (/)
34		bj-findis.nf0	. . . . . . 7 |- F/ x ps
35	33, 34	nfan 1497	. . . . . 6 |- F/ x ( z = (/) /\ ps )
36		nfcv 2219	. . . . . . 7 |- F/_ x om
37		nfv 1461	. . . . . . . 8 |- F/ x z = suc y
38		bj-findis.nfsuc	. . . . . . . 8 |- F/ x th
39	37, 38	nfan 1497	. . . . . . 7 |- F/ x ( z = suc y /\ th )
40	36, 39	nfrexxy 2403	. . . . . 6 |- F/ x E. y e. om ( z = suc y /\ th )
41	35, 40	nfor 1506	. . . . 5 |- F/ x ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) )
42	32, 41	nfim 1504	. . . 4 |- F/ x ( z e. om -> ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) )
43		nfv 1461	. . . 4 |- F/ z ( x e. om -> ph )
44		nfv 1461	. . . 4 |- F/ z ( y e. om -> ch )
45		eleq1 2141	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x e. om <-> y e. om ) )
46	45	biimprd 156	. . . . 5 |- ( x = y -> ( y e. om -> x e. om ) )
47		bj-findis.1	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ph -> ch ) )
48	46, 47	imim12d 73	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( x e. om -> ph ) -> ( y e. om -> ch ) ) )
49		eleq1 2141	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( x e. om <-> z e. om ) )
50	49	biimpd 142	. . . . 5 |- ( x = z -> ( x e. om -> z e. om ) )
51		eqtr 2098	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z /\ z = (/) ) -> x = (/) )
52		bj-findis.0	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( ps -> ph ) )
53	51, 52	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( x = z /\ z = (/) ) -> ( ps -> ph ) )
54	53	expimpd 355	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( z = (/) /\ ps ) -> ph ) )
55		eqtr 2098	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = z /\ z = suc y ) -> x = suc y )
56		bj-findis.suc	. . . . . . . . 9 |- ( x = suc y -> ( th -> ph ) )
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z /\ z = suc y ) -> ( th -> ph ) )
58	57	expimpd 355	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( z = suc y /\ th ) -> ph ) )
59	58	rexlimdvw 2480	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( E. y e. om ( z = suc y /\ th ) -> ph ) )
60	54, 59	jaod 669	. . . . 5 |- ( x = z -> ( ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) -> ph ) )
61	50, 60	imim12d 73	. . . 4 |- ( x = z -> ( ( z e. om -> ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) ) -> ( x e. om -> ph ) ) )
62	31, 42, 43, 44, 48, 61	setindis 10762	. . 3 |- ( A. z ( A. y e. z ( y e. om -> ch ) -> ( z e. om -> ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) ) ) -> A. x ( x e. om -> ph ) )
63	28, 62	syl 14	. 2 |- ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) -> A. x ( x e. om -> ph ) )
64		df-ral 2353	. 2 |- ( A. x e. om ph <-> A. x ( x e. om -> ph ) )
65	63, 64	sylibr 132	1 |- ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) -> A. x e. om ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   \/ wo 661   A.wal 1282   = wceq 1284   F/wnf 1389   e. wcel 1433   A.wral 2348   E.wrex 2349   (/)c0 3251   suc csuc 4120   omcom 4331

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-nul 3904  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-bd0 10604  ax-bdim 10605  ax-bdan 10606  ax-bdor 10607  ax-bdn 10608  ax-bdal 10609  ax-bdex 10610  ax-bdeq 10611  ax-bdel 10612  ax-bdsb 10613  ax-bdsep 10675  ax-infvn 10736

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-sn 3404  df-pr 3405  df-uni 3602  df-int 3637  df-suc 4126  df-iom 4332  df-bdc 10632  df-bj-ind 10722

This theorem is referenced by:  bj-findisg  10775  bj-findes  10776