Theorem climcaucn 10188

Description: A converging sequence of complex numbers is a Cauchy sequence. This is like climcau 10184 but adds the part that ( F ` k ) is complex. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
climcauc.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
climcaucn	|- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )

Distinct variable groups:   j, k, x, F   j, M, k, x   j, Z, k, x

Proof of Theorem climcaucn

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcauc.1	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		simpl 107	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> M e. ZZ )
3		1rp 8738	. . . . 5 |- 1 e. RR+
4	3	a1i 9	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> 1 e. RR+ )
5		eqidd 2082	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
6		climdm 10134	. . . . . 6 |- ( F e. dom ~~> <-> F ~~> ( ~~> ` F ) )
7	6	biimpi 118	. . . . 5 |- ( F e. dom ~~> -> F ~~> ( ~~> ` F ) )
8	7	adantl 271	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> F ~~> ( ~~> ` F ) )
9	1, 2, 4, 5, 8	climi 10126	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( ~~> ` F ) ) ) < 1 ) )
10		simpl 107	. . . . 5 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( ~~> ` F ) ) ) < 1 ) -> ( F ` k ) e. CC )
11	10	ralimi 2426	. . . 4 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( ~~> ` F ) ) ) < 1 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC )
12	11	reximi 2458	. . 3 |- ( E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( ~~> ` F ) ) ) < 1 ) -> E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC )
13	9, 12	syl 14	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC )
14		eluzelz 8628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
15	14, 1	eleq2s 2173	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. Z -> n e. ZZ )
16		eqid 2081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` n )
17	16	climcau 10184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x )
18	15, 17	sylan 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. Z /\ F e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x )
19	16	r19.29uz 9878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC /\ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
20	19	ex 113	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC -> ( E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x -> E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
21	20	ralimdv 2430	. . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC -> ( A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x -> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
22	18, 21	mpan9 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. Z /\ F e. dom ~~> ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC ) -> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
23	22	an32s 532	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC ) /\ F e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
24	23	adantll 459	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ ( n e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC ) ) /\ F e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
25	24	ex 113	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( n e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( F e. dom ~~> -> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
26	1, 16	cau4 10002	. . . . . . 7 |- ( n e. Z -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
27	26	ad2antrl 473	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( n e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
28	25, 27	sylibrd 167	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ ( n e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( F e. dom ~~> -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
29	28	rexlimdvaa 2478	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC -> ( F e. dom ~~> -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) ) )
30	29	com23 77	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( F e. dom ~~> -> ( E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) ) )
31	30	imp 122	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> ( E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
32	13, 31	mpd 13	1 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   E.wrex 2349   class class class wbr 3785   dom cdm 4363   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   CCcc 6979   1c1 6982   < clt 7153   - cmin 7279   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619   RR+crp 8734   abscabs 9883   ~~> cli 10117

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095  ax-caucvg 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-rp 8735  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-cj 9729  df-re 9730  df-im 9731  df-rsqrt 9884  df-abs 9885  df-clim 10118

This theorem is referenced by:  serif0  10189