Theorem serif0 10189

Description: If an infinite series converges, its underlying sequence converges to zero. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcauc.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
serif0.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
serif0.3	|- ( ph -> F e. V )
serif0.4	|- ( ph -> seq M ( + , F , CC ) e. dom ~~> )
serif0.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )

Assertion

Ref	Expression
serif0	|- ( ph -> F ~~> 0 )

Distinct variable groups:   k, F   k, M   k, Z   ph, k   k, V

Proof of Theorem serif0

Dummy variables j m n x a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		serif0.2	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		serif0.4	. . . . 5 |- ( ph -> seq M ( + , F , CC ) e. dom ~~> )
3		climcauc.1	. . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` M )
4	3	climcaucn 10188	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ seq M ( + , F , CC ) e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` j ) ) ) < x ) )
5	1, 2, 4	syl2anc 403	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` j ) ) ) < x ) )
6	3	cau3 10001	. . . 4 |- ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) ) ) < x ) )
7	5, 6	sylib 120	. . 3 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) ) ) < x ) )
8	3	peano2uzs 8672	. . . . . . 7 |- ( j e. Z -> ( j + 1 ) e. Z )
9	8	adantl 271	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( j + 1 ) e. Z )
10		eluzelz 8628	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( ZZ>= ` j ) -> m e. ZZ )
11		uzid 8633	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ZZ -> m e. ( ZZ>= ` m ) )
12		peano2uz 8671	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( ZZ>= ` m ) -> ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` m ) )
13		fveq2 5198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( m + 1 ) -> ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) = ( seq M ( + , F , CC ) ` ( m + 1 ) ) )
14	13	oveq2d 5548	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( m + 1 ) -> ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) ) = ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( m + 1 ) ) ) )
15	14	fveq2d 5202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( m + 1 ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) ) ) = ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( m + 1 ) ) ) ) )
16	15	breq1d 3795	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( m + 1 ) -> ( ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x ) )
17	16	rspcv 2697	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` m ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x ) )
18	10, 11, 12, 17	4syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x ) )
19	18	adantld 272	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( ZZ>= ` j ) -> ( ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) ) ) < x ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x ) )
20	19	ralimia 2424	. . . . . . 7 |- ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) ) ) < x ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x )
21		simpr 108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. Z )
22	21, 3	syl6eleq 2171	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
23		eluzelz 8628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. ZZ )
25		eluzp1m1 8642	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. ZZ /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) )
26	24, 25	sylan 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) )
27		fveq2 5198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) = ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) )
28		oveq1 5539	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( m + 1 ) = ( ( k - 1 ) + 1 ) )
29	28	fveq2d 5202	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( seq M ( + , F , CC ) ` ( m + 1 ) ) = ( seq M ( + , F , CC ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) )
30	27, 29	oveq12d 5550	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( m + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) )
31	30	fveq2d 5202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( m + 1 ) ) ) ) = ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) )
32	31	breq1d 3795	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) < x ) )
33	32	rspcv 2697	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) < x ) )
34	26, 33	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) < x ) )
35		serif0.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
36	3, 1, 35	iserf 9453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> seq M ( + , F , CC ) : Z --> CC )
37	36	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> seq M ( + , F , CC ) : Z --> CC )
38	3	uztrn2 8636	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. Z /\ ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k - 1 ) e. Z )
39	21, 38	sylan 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ ( k - 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k - 1 ) e. Z )
40	26, 39	syldan 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. Z )
41	37, 40	ffvelrnd 5324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) e. CC )
42	3	uztrn2 8636	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( j + 1 ) e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. Z )
43	9, 42	sylan 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. Z )
44	37, 43	ffvelrnd 5324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) e. CC )
45	41, 44	abssubd 10079	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) ) ) = ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) ) ) )
46		eluzelz 8628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) -> k e. ZZ )
47	46	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. ZZ )
48	47	zcnd 8470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. CC )
49		ax-1cn 7069	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
50		npcan 7317	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( k - 1 ) + 1 ) = k )
51	48, 49, 50	sylancl 404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( ( k - 1 ) + 1 ) = k )
52	51	fveq2d 5202	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( seq M ( + , F , CC ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) = ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) )
53	52	oveq2d 5548	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) ) )
54	53	fveq2d 5202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) = ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) ) ) )
55	1	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
56		eluzp1p1 8644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
57	22, 56	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
58		eqid 2081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( M + 1 ) )
59	58	uztrn2 8636	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
60	57, 59	sylan 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
61		cnex 7097	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- CC e. _V
62	61	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> CC e. _V )
63		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> a e. ( ZZ>= ` M ) )
64	63, 3	syl6eleqr 2172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> a e. Z )
65	35	ralrimiva 2434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. k e. Z ( F ` k ) e. CC )
66	65	ad3antrrr 475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. k e. Z ( F ` k ) e. CC )
67		fveq2 5198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = a -> ( F ` k ) = ( F ` a ) )
68	67	eleq1d 2147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = a -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` a ) e. CC ) )
69	68	rspcva 2699	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. Z /\ A. k e. Z ( F ` k ) e. CC ) -> ( F ` a ) e. CC )
70	64, 66, 69	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` a ) e. CC )
71		addcl 7098	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. CC /\ b e. CC ) -> ( a + b ) e. CC )
72	71	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) /\ ( a e. CC /\ b e. CC ) ) -> ( a + b ) e. CC )
73	55, 60, 62, 70, 72	iseqm1 9447	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) = ( ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) + ( F ` k ) ) )
74	73	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) + ( F ` k ) ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) ) )
75	35	adantlr 460	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
76	43, 75	syldan 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
77	41, 76	pncan2d 7421	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( ( ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) + ( F ` k ) ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) ) = ( F ` k ) )
78	74, 77	eqtr2d 2114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( F ` k ) = ( ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) ) )
79	78	fveq2d 5202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) ) ) )
80	45, 54, 79	3eqtr4d 2123	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
81	80	breq1d 3795	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` ( k - 1 ) ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) < x <-> ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
82	34, 81	sylibd 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x -> ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
83	82	ralrimdva 2441	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` ( m + 1 ) ) ) ) < x -> A. k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
84	20, 83	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) ) ) < x ) -> A. k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
85		fveq2 5198	. . . . . . . 8 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) )
86	85	raleqdv 2555	. . . . . . 7 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
87	86	rspcev 2701	. . . . . 6 |- ( ( ( j + 1 ) e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) -> E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x )
88	9, 84, 87	syl6an 1363	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) ) ) < x ) -> E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
89	88	rexlimdva 2477	. . . 4 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) ) ) < x ) -> E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
90	89	ralimdv 2430	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) e. CC /\ A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F , CC ) ` m ) - ( seq M ( + , F , CC ) ` k ) ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
91	7, 90	mpd 13	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x )
92		serif0.3	. . 3 |- ( ph -> F e. V )
93		eqidd 2082	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
94	3, 1, 92, 93, 35	clim0c 10125	. 2 |- ( ph -> ( F ~~> 0 <-> A. x e. RR+ E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( F ` k ) ) < x ) )
95	91, 94	mpbird 165	1 |- ( ph -> F ~~> 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   E.wrex 2349   _Vcvv 2601   class class class wbr 3785   dom cdm 4363   -->wf 4918   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   CCcc 6979   0cc0 6981   1c1 6982   + caddc 6984   < clt 7153   - cmin 7279   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619   RR+crp 8734   seqcseq 9431   abscabs 9883   ~~> cli 10117

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095  ax-caucvg 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-rp 8735  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-cj 9729  df-re 9730  df-im 9731  df-rsqrt 9884  df-abs 9885  df-clim 10118

This theorem is referenced by: (None)