Theorem cnvcnvsn 4817

Description: Double converse of a singleton of an ordered pair. (Unlike cnvsn 4823, this does not need any sethood assumptions on A and B.) (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnvcnvsn	|- `' `' { <. A , B >. } = `' { <. B , A >. }

Proof of Theorem cnvcnvsn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 4723	. 2 |- Rel `' `' { <. A , B >. }
2		relcnv 4723	. 2 |- Rel `' { <. B , A >. }
3		vex 2604	. . . 4 |- y e. _V
4		vex 2604	. . . 4 |- x e. _V
5	3, 4	opelcnv 4535	. . 3 |- ( <. y , x >. e. `' `' { <. A , B >. } <-> <. x , y >. e. `' { <. A , B >. } )
6		ancom 262	. . . . . 6 |- ( ( y = A /\ x = B ) <-> ( x = B /\ y = A ) )
7	3, 4	opth 3992	. . . . . 6 |- ( <. y , x >. = <. A , B >. <-> ( y = A /\ x = B ) )
8	4, 3	opth 3992	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. = <. B , A >. <-> ( x = B /\ y = A ) )
9	6, 7, 8	3bitr4i 210	. . . . 5 |- ( <. y , x >. = <. A , B >. <-> <. x , y >. = <. B , A >. )
10	3, 4	opex 3984	. . . . . 6 |- <. y , x >. e. _V
11	10	elsn 3414	. . . . 5 |- ( <. y , x >. e. { <. A , B >. } <-> <. y , x >. = <. A , B >. )
12	4, 3	opex 3984	. . . . . 6 |- <. x , y >. e. _V
13	12	elsn 3414	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. B , A >. } <-> <. x , y >. = <. B , A >. )
14	9, 11, 13	3bitr4i 210	. . . 4 |- ( <. y , x >. e. { <. A , B >. } <-> <. x , y >. e. { <. B , A >. } )
15	4, 3	opelcnv 4535	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. `' { <. A , B >. } <-> <. y , x >. e. { <. A , B >. } )
16	3, 4	opelcnv 4535	. . . 4 |- ( <. y , x >. e. `' { <. B , A >. } <-> <. x , y >. e. { <. B , A >. } )
17	14, 15, 16	3bitr4i 210	. . 3 |- ( <. x , y >. e. `' { <. A , B >. } <-> <. y , x >. e. `' { <. B , A >. } )
18	5, 17	bitri 182	. 2 |- ( <. y , x >. e. `' `' { <. A , B >. } <-> <. y , x >. e. `' { <. B , A >. } )
19	1, 2, 18	eqrelriiv 4452	1 |- `' `' { <. A , B >. } = `' { <. B , A >. }

Syntax hints:   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   {csn 3398   <.cop 3401   `'ccnv 4362

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371

This theorem is referenced by:  rnsnopg  4819  cnvsn  4823