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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > divgcdcoprm0 | Unicode version | ||
| Description: Integers divided by gcd are coprime. (Contributed by AV, 12-Jul-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| divgcdcoprm0 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small} 
        |
are
mutually distinct and distinct from all other variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | gcddvds 10355 |
. . 3
| |
| 2 | 1 | 3adant3 958 |
. 2
|
| 3 | gcdcl 10358 |
. . . . . . . 8
 | |
| 4 | 3 | nn0zd 8467 |
. . . . . . 7
|
| 5 | simpl 107 |
. . . . . . 7
| |
| 6 | 4, 5 | jca 300 |
. . . . . 6
|
| 7 | 6 | 3adant3 958 |
. . . . 5
|
| 8 | divides 10197 |
. . . . 5
  | |
| 9 | 7, 8 | syl 14 |
. . . 4
|
| 10 | simpr 108 |
. . . . . . 7
| |
| 11 | 4, 10 | jca 300 |
. . . . . 6
|
| 12 | 11 | 3adant3 958 |
. . . . 5
|
| 13 | divides 10197 |
. . . . 5
| |
| 14 | 12, 13 | syl 14 |
. . . 4
|
| 15 | 9, 14 | anbi12d 456 |
. . 3
|
| 16 | bezout 10400 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 17 | 16 | 3adant3 958 |
. . . . . . . . 9
|
| 18 | oveq1 5539 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 19 | oveq1 5539 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 20 | 18, 19 | oveqan12rd 5552 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 21 | 20 | eqeq2d 2092 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 22 | 21 | bicomd 139 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 23 | simpl 107 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 24 | 23 | zcnd 8470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
 |
| 25 | 24 | adantl 271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 26 | 3 | nn0cnd 8343 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 27 | 26 | 3adant3 958 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 28 | 27 | ad2antrr 471 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 29 | simpl 107 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 30 | 29 | zcnd 8470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 31 | 30 | ad2antlr 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 32 | 25, 28, 31 | mul32d 7261 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 33 | simpr 108 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 34 | 33 | zcnd 8470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 35 | 34 | adantl 271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 36 | simpr 108 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 37 | 36 | zcnd 8470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 38 | 37 | ad2antlr 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 39 | 35, 28, 38 | mul32d 7261 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 40 | 32, 39 | oveq12d 5550 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 41 | 40 | eqeq2d 2092 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 42 | 23 | adantl 271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 43 | 29 | ad2antlr 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 44 | 42, 43 | zmulcld 8475 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 45 | 4 | 3adant3 958 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 46 | 45 | ad2antrr 471 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 47 | 44, 46 | zmulcld 8475 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 48 | 33 | adantl 271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 49 | 36 | ad2antlr 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 50 | 48, 49 | zmulcld 8475 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 51 | 3 | 3adant3 958 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 52 | 51 | ad2antrr 471 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 53 | 52 | nn0zd 8467 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 54 | 50, 53 | zmulcld 8475 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 55 | 47, 54 | zaddcld 8473 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 56 | 55 | zcnd 8470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 57 | gcd2n0cl 10361 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
 | |
| 58 | nncn 8047 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 59 | nnap0 8068 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
# | |
| 60 | 58, 59 | jca 300 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
# |
| 61 | 57, 60 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
# |
| 62 | 61 | ad2antrr 471 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
# |
| 63 | div11ap 7788 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
# | |
| 64 | 28, 56, 62, 63 | syl3anc 1169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 65 | dividap 7789 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
# | |
| 66 | 62, 65 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 67 | 47 | zcnd 8470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 68 | 54 | zcnd 8470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 69 | divdirap 7785 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
# | |
| 70 | 67, 68, 62, 69 | syl3anc 1169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 71 | 44 | zcnd 8470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 72 | 51 | nn0cnd 8343 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 73 | 72 | ad2antrr 471 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 74 | 62 | simprd 112 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
# |
| 75 | 71, 73, 74 | divcanap4d 7883 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 76 | 50 | zcnd 8470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 77 | 76, 28, 74 | divcanap4d 7883 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 78 | 75, 77 | oveq12d 5550 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 79 | 70, 78 | eqtrd 2113 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 80 | 66, 79 | eqeq12d 2095 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 81 | 41, 64, 80 | 3bitr2d 214 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 82 | 22, 81 | sylan9bbr 450 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 83 | eqcom 2083 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 84 | simpr 108 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 85 | 84 | anim1i 333 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 86 | 85 | ancomd 263 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 87 | bezoutr1 10422 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 88 | 86, 87 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 89 | 88 | adantr 270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 90 | 83, 89 | syl5bi 150 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 91 | simpll1 977 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 92 | 91 | zcnd 8470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 93 | divmulap3 7765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# | |
| 94 | 92, 25, 62, 93 | syl3anc 1169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 95 | eqcom 2083 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 96 | eqcom 2083 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 97 | 94, 95, 96 | 3bitr4g 221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 98 | 97 | biimprd 156 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 99 | 98 | a1d 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 100 | 99 | imp32 253 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 101 | simp2 939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
| |
| 102 | 101 | zcnd 8470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 103 | 102 | ad2antrr 471 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 104 | divmulap3 7765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# | |
| 105 | 103, 35, 62, 104 | syl3anc 1169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 106 | eqcom 2083 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 107 | eqcom 2083 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 108 | 105, 106, 107 | 3bitr4g 221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 109 | 108 | biimprd 156 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 110 | 109 | a1dd 47 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 111 | 110 | imp32 253 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 112 | 100, 111 | oveq12d 5550 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 113 | 112 | eqeq1d 2089 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 114 | 90, 113 | sylibd 147 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 115 | 82, 114 | sylbid 148 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 116 | 115 | exp32 357 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 117 | 116 | com34 82 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 118 | 117 | com23 77 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 119 | 118 | ex 113 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 120 | 119 | com23 77 |
. . . . . . . . . 10
|
| 121 | 120 | rexlimdvva 2484 |
. . . . . . . . 9
|
| 122 | 17, 121 | mpd 13 |
. . . . . . . 8
|
| 123 | 122 | impl 372 |
. . . . . . 7
|
| 124 | 123 | rexlimdva 2477 |
. . . . . 6
|
| 125 | 124 | com23 77 |
. . . . 5
|
| 126 | 125 | rexlimdva 2477 |
. . . 4
|
| 127 | 126 | impd 251 |
. . 3
|
| 128 | 15, 127 | sylbid 148 |
. 2
|
| 129 | 2, 128 | mpd 13 |
1
|
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wi 4
wa 102
wb 103 w3a 919 wceq 1284 wcel 1433 wne 2245 wrex 2349 class class class wbr 3785
(class class class)co 5532 cc 6979 cc0 6981 c1 6982 caddc 6984 cmul 6986 # cap 7681
cdiv 7760
cn 8039
cn0 8288
cz 8351
cdvds 10195 cgcd 10338 |
| This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 576 ax-in2 577 ax-io 662 ax-5 1376 ax-7 1377 ax-gen 1378 ax-ie1 1422 ax-ie2 1423 ax-8 1435 ax-10 1436 ax-11 1437 ax-i12 1438 ax-bndl 1439 ax-4 1440 ax-13 1444 ax-14 1445 ax-17 1459 ax-i9 1463 ax-ial 1467 ax-i5r 1468 ax-ext 2063 ax-coll 3893 ax-sep 3896 ax-nul 3904 ax-pow 3948 ax-pr 3964 ax-un 4188 ax-setind 4280 ax-iinf 4329 ax-cnex 7067 ax-resscn 7068 ax-1cn 7069 ax-1re 7070 ax-icn 7071 ax-addcl 7072 ax-addrcl 7073 ax-mulcl 7074 ax-mulrcl 7075 ax-addcom 7076 ax-mulcom 7077 ax-addass 7078 ax-mulass 7079 ax-distr 7080 ax-i2m1 7081 ax-0lt1 7082 ax-1rid 7083 ax-0id 7084 ax-rnegex 7085 ax-precex 7086 ax-cnre 7087 ax-pre-ltirr 7088 ax-pre-ltwlin 7089 ax-pre-lttrn 7090 ax-pre-apti 7091 ax-pre-ltadd 7092 ax-pre-mulgt0 7093 ax-pre-mulext 7094 ax-arch 7095 ax-caucvg 7096 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-dc 776 df-3or 920 df-3an 921 df-tru 1287 df-fal 1290 df-nf 1390 df-sb 1686 df-eu 1944 df-mo 1945 df-clab 2068 df-cleq 2074 df-clel 2077 df-nfc 2208 df-ne 2246 df-nel 2340 df-ral 2353 df-rex 2354 df-reu 2355 df-rmo 2356 df-rab 2357 df-v 2603 df-sbc 2816 df-csb 2909 df-dif 2975 df-un 2977 df-in 2979 df-ss 2986 df-nul 3252 df-if 3352 df-pw 3384 df-sn 3404 df-pr 3405 df-op 3407 df-uni 3602 df-int 3637 df-iun 3680 df-br 3786 df-opab 3840 df-mpt 3841 df-tr 3876 df-id 4048 df-po 4051 df-iso 4052 df-iord 4121 df-on 4123 df-suc 4126 df-iom 4332 df-xp 4369 df-rel 4370 df-cnv 4371 df-co 4372 df-dm 4373 df-rn 4374 df-res 4375 df-ima 4376 df-iota 4887 df-fun 4924 df-fn 4925 df-f 4926 df-f1 4927 df-fo 4928 df-f1o 4929 df-fv 4930 df-riota 5488 df-ov 5535 df-oprab 5536 df-mpt2 5537 df-1st 5787 df-2nd 5788 df-recs 5943 df-frec 6001 df-sup 6397 df-pnf 7155 df-mnf 7156 df-xr 7157 df-ltxr 7158 df-le 7159 df-sub 7281 df-neg 7282 df-reap 7675 df-ap 7682 df-div 7761 df-inn 8040 df-2 8098 df-3 8099 df-4 8100 df-n0 8289 df-z 8352 df-uz 8620 df-q 8705 df-rp 8735 df-fz 9030 df-fzo 9153 df-fl 9274 df-mod 9325 df-iseq 9432 df-iexp 9476 df-cj 9729 df-re 9730 df-im 9731 df-rsqrt 9884 df-abs 9885 df-dvds 10196 df-gcd 10339 |
| This theorem is referenced by: divgcdcoprmex 10484 |
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