Theorem eldm 4550

Description: Membership in a domain. Theorem 4 of [Suppes] p. 59. (Contributed by NM, 2-Apr-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldm.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
eldm	|- ( A e. dom B <-> E. y A B y )

Distinct variable groups:   y, A   y, B

Proof of Theorem eldm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm.1	. 2 |- A e. _V
2		eldmg 4548	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. dom B <-> E. y A B y ) )
3	1, 2	ax-mp 7	1 |- ( A e. dom B <-> E. y A B y )

Syntax hints:   <-> wb 103   E.wex 1421   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   class class class wbr 3785   dom cdm 4363

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-un 2977  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-dm 4373

This theorem is referenced by:  dmi  4568  dmcoss  4619  dmcosseq  4621  dminss  4758  dmsnm  4806  dffun7  4948  dffun8  4949  fnres  5035  fndmdif  5293  reldmtpos  5891  dmtpos  5894  tfrexlem  5971