Theorem dmcoss 4619

Description: Domain of a composition. Theorem 21 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dmcoss	|- dom ( A o. B ) C_ dom B

Proof of Theorem dmcoss

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfe1 1425	. . . 4 |- F/ y E. y x B y
2		exsimpl 1548	. . . . 5 |- ( E. z ( x B z /\ z A y ) -> E. z x B z )
3		vex 2604	. . . . . 6 |- x e. _V
4		vex 2604	. . . . . 6 |- y e. _V
5	3, 4	opelco 4525	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. ( A o. B ) <-> E. z ( x B z /\ z A y ) )
6		breq2 3789	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( x B y <-> x B z ) )
7	6	cbvexv 1836	. . . . 5 |- ( E. y x B y <-> E. z x B z )
8	2, 5, 7	3imtr4i 199	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A o. B ) -> E. y x B y )
9	1, 8	exlimi 1525	. . 3 |- ( E. y <. x , y >. e. ( A o. B ) -> E. y x B y )
10	3	eldm2 4551	. . 3 |- ( x e. dom ( A o. B ) <-> E. y <. x , y >. e. ( A o. B ) )
11	3	eldm 4550	. . 3 |- ( x e. dom B <-> E. y x B y )
12	9, 10, 11	3imtr4i 199	. 2 |- ( x e. dom ( A o. B ) -> x e. dom B )
13	12	ssriv 3003	1 |- dom ( A o. B ) C_ dom B

Syntax hints:   /\ wa 102   E.wex 1421   e. wcel 1433   C_ wss 2973   <.cop 3401   class class class wbr 3785   dom cdm 4363   o. ccom 4367

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-co 4372  df-dm 4373

This theorem is referenced by:  rncoss  4620  dmcosseq  4621  cossxp  4863  funco  4960  cofunexg  5758