Theorem elfzp12 9116

Description: Options for membership in a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
elfzp12	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( K = M \/ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) )

Proof of Theorem elfzp12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 9045	. . 3 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )
2	1	anim2i 334	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) )
3		eluzel2 8624	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
4		eleq1 2141	. . . . 5 |- ( K = M -> ( K e. ZZ <-> M e. ZZ ) )
5	3, 4	syl5ibrcom 155	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K = M -> K e. ZZ ) )
6	5	imdistani 433	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K = M ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) )
7		elfzelz 9045	. . . 4 |- ( K e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> K e. ZZ )
8	7	anim2i 334	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) )
9	6, 8	jaodan 743	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( K = M \/ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) )
10		fzpred 9087	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) = ( { M } u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
11	10	eleq2d 2148	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> K e. ( { M } u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) )
12		elun 3113	. . . 4 |- ( K e. ( { M } u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) <-> ( K e. { M } \/ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
13	11, 12	syl6bb 194	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. { M } \/ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) )
14		elsng 3413	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( K e. { M } <-> K = M ) )
15	14	orbi1d 737	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( ( K e. { M } \/ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) <-> ( K = M \/ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) )
16	13, 15	sylan9bb 449	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( K = M \/ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) )
17	2, 9, 16	pm5.21nd 858	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( K = M \/ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 661   = wceq 1284   e. wcel 1433   u. cun 2971   {csn 3398   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   1c1 6982   + caddc 6984   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619   ...cfz 9029

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-fz 9030

This theorem is referenced by:  bcpasc  9693