Theorem elvv 4420

Description: Membership in universal class of ordered pairs. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elvv	|- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y A = <. x , y >. )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem elvv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 4380	. 2 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) )
2		vex 2604	. . . . 5 |- x e. _V
3		vex 2604	. . . . 5 |- y e. _V
4	2, 3	pm3.2i 266	. . . 4 |- ( x e. _V /\ y e. _V )
5	4	biantru 296	. . 3 |- ( A = <. x , y >. <-> ( A = <. x , y >. /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) )
6	5	2exbii 1537	. 2 |- ( E. x E. y A = <. x , y >. <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) )
7	1, 6	bitr4i 185	1 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y A = <. x , y >. )

Syntax hints:   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   <.cop 3401   X. cxp 4361

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-opab 3840  df-xp 4369

This theorem is referenced by:  elvvv  4421  elvvuni  4422  ssrel  4446  elrel  4460  relop  4504  elreldm  4578  dmsnm  4806  1stval2  5802  2ndval2  5803  dfopab2  5835  dfoprab3s  5836  dftpos4  5901  tpostpos  5902  fundmen  6309