Theorem elxp 4380

Description: Membership in a cross product. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elxp	|- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y

Proof of Theorem elxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xp 4369	. . 3 |- ( B X. C ) = { <. x , y >. | ( x e. B /\ y e. C ) }
2	1	eleq2i 2145	. 2 |- ( A e. ( B X. C ) <-> A e. { <. x , y >. | ( x e. B /\ y e. C ) } )
3		elopab 4013	. 2 |- ( A e. { <. x , y >. | ( x e. B /\ y e. C ) } <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
4	2, 3	bitri 182	1 |- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   <.cop 3401   {copab 3838   X. cxp 4361

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-opab 3840  df-xp 4369

This theorem is referenced by:  elxp2  4381  0nelxp  4390  0nelelxp  4391  rabxp  4398  elxp3  4412  elvv  4420  elvvv  4421  0xp  4438  xpmlem  4764  elxp4  4828  elxp5  4829  dfco2a  4841  opabex3d  5768  opabex3  5769  xp1st  5812  xp2nd  5813  poxp  5873  xpsnen  6318  xpcomco  6323  xpassen  6327  nqnq0pi  6628