ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0enq Unicode version
Theorem enq0enq 6621
Description: Equivalence on positive fractions in terms of equivalence on non-negative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
enq0enq |- ~Q = ( ~Q0 i^i ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) )
Proof of Theorem enq0enq
Dummy variables v u w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-enq0 6614 . . 3 |- ~Q0 = { <. x , y >. | ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) }
2 df-xp 4369 . . 3 |- ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) = { <. x , y >. | ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) }
31, 2ineq12i 3165 . 2 |- ( ~Q0 i^i ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) ) = ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) } i^i { <. x , y >. | ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) } )
4 inopab 4486 . 2 |- ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) } i^i { <. x , y >. | ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) } ) = { <. x , y >. | ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) }
5 an32 526 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) <-> ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
6 an4 550 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) <-> ( ( x e. ( om X. N. ) /\ x e. ( N. X. N. ) ) /\ ( y e. ( om X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) )
7 pinn 6499 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. N. -> x e. om )
87ssriv 3003 . . . . . . . . . . . 12 |- N. C_ om
9 xpss1 4466 . . . . . . . . . . . 12 |- ( N. C_ om -> ( N. X. N. ) C_ ( om X. N. ) )
108, 9ax-mp 7 . . . . . . . . . . 11 |- ( N. X. N. ) C_ ( om X. N. )
1110sseli 2995 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> x e. ( om X. N. ) )
1211pm4.71ri 384 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( N. X. N. ) <-> ( x e. ( om X. N. ) /\ x e. ( N. X. N. ) ) )
1310sseli 2995 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( N. X. N. ) -> y e. ( om X. N. ) )
1413pm4.71ri 384 . . . . . . . . 9 |- ( y e. ( N. X. N. ) <-> ( y e. ( om X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) )
1512, 14anbi12i 447 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) <-> ( ( x e. ( om X. N. ) /\ x e. ( N. X. N. ) ) /\ ( y e. ( om X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) )
166, 15bitr4i 185 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) <-> ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) )
1716anbi1i 445 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
185, 17bitri 182 . . . . 5 |- ( ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
19 eleq1 2141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = <. z , w >. -> ( x e. ( N. X. N. ) <-> <. z , w >. e. ( N. X. N. ) ) )
20 opelxp 4392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( <. z , w >. e. ( N. X. N. ) <-> ( z e. N. /\ w e. N. ) )
2119, 20syl6bb 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = <. z , w >. -> ( x e. ( N. X. N. ) <-> ( z e. N. /\ w e. N. ) ) )
22 eleq1 2141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = <. v , u >. -> ( y e. ( N. X. N. ) <-> <. v , u >. e. ( N. X. N. ) ) )
23 opelxp 4392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( <. v , u >. e. ( N. X. N. ) <-> ( v e. N. /\ u e. N. ) )
2422, 23syl6bb 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = <. v , u >. -> ( y e. ( N. X. N. ) <-> ( v e. N. /\ u e. N. ) ) )
2521, 24bi2anan9 570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) -> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) <-> ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) )
2625pm5.32i 441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) <-> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) )
2726anbi1i 445 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
28 anass 393 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
2927, 28bitri 182 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
30 mulpiord 6507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. N. /\ u e. N. ) -> ( z .N u ) = ( z .o u ) )
31 mulpiord 6507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( w e. N. /\ v e. N. ) -> ( w .N v ) = ( w .o v ) )
3230, 31eqeqan12d 2096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( z .N u ) = ( w .N v ) <-> ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
3332an42s 553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( z .N u ) = ( w .N v ) <-> ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
3433pm5.32i 441 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) <-> ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
3534anbi2i 444 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) <-> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
3629, 35bitr4i 185 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
37 anass 393 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) <-> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
3836, 37bitr4i 185 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) )
3926anbi1i 445 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) <-> ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) )
4038, 39bitr4i 185 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) )
41 ancom 262 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) )
4241anbi1i 445 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
4341anbi1i 445 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) <-> ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) )
4440, 42, 433bitr3i 208 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) )
45 anass 393 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
46 anass 393 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
4744, 45, 463bitr3i 208 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
48472exbii 1537 . . . . . . . 8 |- ( E. v E. u ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> E. v E. u ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
49 19.42vv 1829 . . . . . . . 8 |- ( E. v E. u ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
50 19.42vv 1829 . . . . . . . 8 |- ( E. v E. u ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
5148, 49, 503bitr3i 208 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
52512exbii 1537 . . . . . 6 |- ( E. z E. w ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> E. z E. w ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
53 19.42vv 1829 . . . . . 6 |- ( E. z E. w ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
54 19.42vv 1829 . . . . . 6 |- ( E. z E. w ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
5552, 53, 543bitr3i 208 . . . . 5 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
5618, 55bitri 182 . . . 4 |- ( ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
5756opabbii 3845 . . 3 |- { <. x , y >. | ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) } = { <. x , y >. | ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) }
58 df-enq 6537 . . 3 |- ~Q = { <. x , y >. | ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) }
5957, 58eqtr4i 2104 . 2 |- { <. x , y >. | ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) } = ~Q
603, 4, 593eqtrri 2106 1 |- ~Q = ( ~Q0 i^i ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   i^i cin 2972   C_ wss 2973   <.cop 3401   {copab 3838   omcom 4331   X. cxp 4361  (class class class)co 5532   .o comu 6022   N.cnpi 6462   .N cmi 6464   ~Q ceq 6469   ~Q0 ceq0 6476
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-rel 4370  df-res 4375  df-iota 4887  df-fv 4930  df-ov 5535  df-ni 6494  df-mi 6496  df-enq 6537  df-enq0 6614
This theorem is referenced by:  nqnq0pi  6628
  Copyright terms: Public domain W3C validator