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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > enq0sym | Unicode version |
Description: The equivalence relation for non-negative fractions is symmetric. Lemma for enq0er 6625. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
enq0sym | ~Q0 ~Q0 |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | vex 2604 | . . . . . . . 8 | |
2 | vex 2604 | . . . . . . . 8 | |
3 | eleq1 2141 | . . . . . . . . . 10 | |
4 | 3 | anbi1d 452 | . . . . . . . . 9 |
5 | eqeq1 2087 | . . . . . . . . . . . 12 | |
6 | 5 | anbi1d 452 | . . . . . . . . . . 11 |
7 | 6 | anbi1d 452 | . . . . . . . . . 10 |
8 | 7 | 4exbidv 1791 | . . . . . . . . 9 |
9 | 4, 8 | anbi12d 456 | . . . . . . . 8 |
10 | eleq1 2141 | . . . . . . . . . 10 | |
11 | 10 | anbi2d 451 | . . . . . . . . 9 |
12 | eqeq1 2087 | . . . . . . . . . . . 12 | |
13 | 12 | anbi2d 451 | . . . . . . . . . . 11 |
14 | 13 | anbi1d 452 | . . . . . . . . . 10 |
15 | 14 | 4exbidv 1791 | . . . . . . . . 9 |
16 | 11, 15 | anbi12d 456 | . . . . . . . 8 |
17 | df-enq0 6614 | . . . . . . . 8 ~Q0 | |
18 | 1, 2, 9, 16, 17 | brab 4027 | . . . . . . 7 ~Q0 |
19 | 18 | biimpi 118 | . . . . . 6 ~Q0 |
20 | opeq12 3572 | . . . . . . . . . . 11 | |
21 | 20 | eqeq2d 2092 | . . . . . . . . . 10 |
22 | 21 | anbi1d 452 | . . . . . . . . 9 |
23 | simpl 107 | . . . . . . . . . . 11 | |
24 | 23 | oveq1d 5547 | . . . . . . . . . 10 |
25 | simpr 108 | . . . . . . . . . . 11 | |
26 | 25 | oveq1d 5547 | . . . . . . . . . 10 |
27 | 24, 26 | eqeq12d 2095 | . . . . . . . . 9 |
28 | 22, 27 | anbi12d 456 | . . . . . . . 8 |
29 | opeq12 3572 | . . . . . . . . . . 11 | |
30 | 29 | eqeq2d 2092 | . . . . . . . . . 10 |
31 | 30 | anbi2d 451 | . . . . . . . . 9 |
32 | simpr 108 | . . . . . . . . . . 11 | |
33 | 32 | oveq2d 5548 | . . . . . . . . . 10 |
34 | simpl 107 | . . . . . . . . . . 11 | |
35 | 34 | oveq2d 5548 | . . . . . . . . . 10 |
36 | 33, 35 | eqeq12d 2095 | . . . . . . . . 9 |
37 | 31, 36 | anbi12d 456 | . . . . . . . 8 |
38 | 28, 37 | cbvex4v 1846 | . . . . . . 7 |
39 | 38 | anbi2i 444 | . . . . . 6 |
40 | 19, 39 | sylib 120 | . . . . 5 ~Q0 |
41 | 19.42vv 1829 | . . . . 5 | |
42 | 40, 41 | sylibr 132 | . . . 4 ~Q0 |
43 | 19.42vv 1829 | . . . . 5 | |
44 | 43 | 2exbii 1537 | . . . 4 |
45 | 42, 44 | sylibr 132 | . . 3 ~Q0 |
46 | pm3.22 261 | . . . . . . 7 | |
47 | 46 | adantr 270 | . . . . . 6 |
48 | pm3.22 261 | . . . . . . 7 | |
49 | 48 | ad2antrl 473 | . . . . . 6 |
50 | simprr 498 | . . . . . . . 8 | |
51 | eleq1 2141 | . . . . . . . . . . . . . 14 | |
52 | opelxp 4392 | . . . . . . . . . . . . . 14 | |
53 | 51, 52 | syl6bb 194 | . . . . . . . . . . . . 13 |
54 | 53 | biimpcd 157 | . . . . . . . . . . . 12 |
55 | eleq1 2141 | . . . . . . . . . . . . . 14 | |
56 | opelxp 4392 | . . . . . . . . . . . . . 14 | |
57 | 55, 56 | syl6bb 194 | . . . . . . . . . . . . 13 |
58 | 57 | biimpcd 157 | . . . . . . . . . . . 12 |
59 | 54, 58 | im2anan9 562 | . . . . . . . . . . 11 |
60 | 59 | imp 122 | . . . . . . . . . 10 |
61 | 60 | adantrr 462 | . . . . . . . . 9 |
62 | pinn 6499 | . . . . . . . . . . . 12 | |
63 | nnmcom 6091 | . . . . . . . . . . . 12 | |
64 | 62, 63 | sylan2 280 | . . . . . . . . . . 11 |
65 | pinn 6499 | . . . . . . . . . . . 12 | |
66 | nnmcom 6091 | . . . . . . . . . . . 12 | |
67 | 65, 66 | sylan 277 | . . . . . . . . . . 11 |
68 | 64, 67 | eqeqan12d 2096 | . . . . . . . . . 10 |
69 | 68 | an42s 553 | . . . . . . . . 9 |
70 | 61, 69 | syl 14 | . . . . . . . 8 |
71 | 50, 70 | mpbid 145 | . . . . . . 7 |
72 | 71 | eqcomd 2086 | . . . . . 6 |
73 | 47, 49, 72 | jca32 303 | . . . . 5 |
74 | 73 | 2eximi 1532 | . . . 4 |
75 | 74 | 2eximi 1532 | . . 3 |
76 | 45, 75 | syl 14 | . 2 ~Q0 |
77 | exrot4 1621 | . . 3 | |
78 | 19.42vv 1829 | . . . . 5 | |
79 | 78 | 2exbii 1537 | . . . 4 |
80 | 19.42vv 1829 | . . . . 5 | |
81 | opeq12 3572 | . . . . . . . . . 10 | |
82 | 81 | eqeq2d 2092 | . . . . . . . . 9 |
83 | 82 | anbi1d 452 | . . . . . . . 8 |
84 | simpl 107 | . . . . . . . . . 10 | |
85 | 84 | oveq1d 5547 | . . . . . . . . 9 |
86 | simpr 108 | . . . . . . . . . 10 | |
87 | 86 | oveq1d 5547 | . . . . . . . . 9 |
88 | 85, 87 | eqeq12d 2095 | . . . . . . . 8 |
89 | 83, 88 | anbi12d 456 | . . . . . . 7 |
90 | opeq12 3572 | . . . . . . . . . 10 | |
91 | 90 | eqeq2d 2092 | . . . . . . . . 9 |
92 | 91 | anbi2d 451 | . . . . . . . 8 |
93 | simpr 108 | . . . . . . . . . 10 | |
94 | 93 | oveq2d 5548 | . . . . . . . . 9 |
95 | simpl 107 | . . . . . . . . . 10 | |
96 | 95 | oveq2d 5548 | . . . . . . . . 9 |
97 | 94, 96 | eqeq12d 2095 | . . . . . . . 8 |
98 | 92, 97 | anbi12d 456 | . . . . . . 7 |
99 | 89, 98 | cbvex4v 1846 | . . . . . 6 |
100 | eleq1 2141 | . . . . . . . . . 10 | |
101 | 100 | anbi1d 452 | . . . . . . . . 9 |
102 | eqeq1 2087 | . . . . . . . . . . . 12 | |
103 | 102 | anbi1d 452 | . . . . . . . . . . 11 |
104 | 103 | anbi1d 452 | . . . . . . . . . 10 |
105 | 104 | 4exbidv 1791 | . . . . . . . . 9 |
106 | 101, 105 | anbi12d 456 | . . . . . . . 8 |
107 | eleq1 2141 | . . . . . . . . . 10 | |
108 | 107 | anbi2d 451 | . . . . . . . . 9 |
109 | eqeq1 2087 | . . . . . . . . . . . 12 | |
110 | 109 | anbi2d 451 | . . . . . . . . . . 11 |
111 | 110 | anbi1d 452 | . . . . . . . . . 10 |
112 | 111 | 4exbidv 1791 | . . . . . . . . 9 |
113 | 108, 112 | anbi12d 456 | . . . . . . . 8 |
114 | 2, 1, 106, 113, 17 | brab 4027 | . . . . . . 7 ~Q0 |
115 | 114 | biimpri 131 | . . . . . 6 ~Q0 |
116 | 99, 115 | sylan2br 282 | . . . . 5 ~Q0 |
117 | 80, 116 | sylbi 119 | . . . 4 ~Q0 |
118 | 79, 117 | sylbi 119 | . . 3 ~Q0 |
119 | 77, 118 | sylbi 119 | . 2 ~Q0 |
120 | 76, 119 | syl 14 | 1 ~Q0 ~Q0 |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: wi 4 wa 102 wb 103 wceq 1284 wex 1421 wcel 1433 cop 3401 class class class wbr 3785 com 4331 cxp 4361 (class class class)co 5532 comu 6022 cnpi 6462 ~Q0 ceq0 6476 |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 576 ax-in2 577 ax-io 662 ax-5 1376 ax-7 1377 ax-gen 1378 ax-ie1 1422 ax-ie2 1423 ax-8 1435 ax-10 1436 ax-11 1437 ax-i12 1438 ax-bndl 1439 ax-4 1440 ax-13 1444 ax-14 1445 ax-17 1459 ax-i9 1463 ax-ial 1467 ax-i5r 1468 ax-ext 2063 ax-coll 3893 ax-sep 3896 ax-nul 3904 ax-pow 3948 ax-pr 3964 ax-un 4188 ax-setind 4280 ax-iinf 4329 |
This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-3an 921 df-tru 1287 df-fal 1290 df-nf 1390 df-sb 1686 df-eu 1944 df-mo 1945 df-clab 2068 df-cleq 2074 df-clel 2077 df-nfc 2208 df-ne 2246 df-ral 2353 df-rex 2354 df-reu 2355 df-rab 2357 df-v 2603 df-sbc 2816 df-csb 2909 df-dif 2975 df-un 2977 df-in 2979 df-ss 2986 df-nul 3252 df-pw 3384 df-sn 3404 df-pr 3405 df-op 3407 df-uni 3602 df-int 3637 df-iun 3680 df-br 3786 df-opab 3840 df-mpt 3841 df-tr 3876 df-id 4048 df-iord 4121 df-on 4123 df-suc 4126 df-iom 4332 df-xp 4369 df-rel 4370 df-cnv 4371 df-co 4372 df-dm 4373 df-rn 4374 df-res 4375 df-ima 4376 df-iota 4887 df-fun 4924 df-fn 4925 df-f 4926 df-f1 4927 df-fo 4928 df-f1o 4929 df-fv 4930 df-ov 5535 df-oprab 5536 df-mpt2 5537 df-1st 5787 df-2nd 5788 df-recs 5943 df-irdg 5980 df-oadd 6028 df-omul 6029 df-ni 6494 df-enq0 6614 |
This theorem is referenced by: enq0er 6625 |
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