Theorem enq0er 6625

Description: The equivalence relation for non-negative fractions is an equivalence relation. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enq0er	|- ~Q0 Er ( om X. N. )

Proof of Theorem enq0er

Dummy variables f g h x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-enq0 6614	. . . . 5 |- ~Q0 = { <. x , y >. | ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) }
2	1	relopabi 4481	. . . 4 |- Rel ~Q0
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> Rel ~Q0 )
4		enq0sym 6622	. . . 4 |- ( f ~Q0 g -> g ~Q0 f )
5	4	adantl 271	. . 3 |- ( ( T. /\ f ~Q0 g ) -> g ~Q0 f )
6		enq0tr 6624	. . . 4 |- ( ( f ~Q0 g /\ g ~Q0 h ) -> f ~Q0 h )
7	6	adantl 271	. . 3 |- ( ( T. /\ ( f ~Q0 g /\ g ~Q0 h ) ) -> f ~Q0 h )
8		enq0ref 6623	. . . 4 |- ( f e. ( om X. N. ) <-> f ~Q0 f )
9	8	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( f e. ( om X. N. ) <-> f ~Q0 f ) )
10	3, 5, 7, 9	iserd 6155	. 2 |- ( T. -> ~Q0 Er ( om X. N. ) )
11	10	trud 1293	1 |- ~Q0 Er ( om X. N. )

Syntax hints:   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   T. wtru 1285   E.wex 1421   e. wcel 1433   <.cop 3401   class class class wbr 3785   omcom 4331   X. cxp 4361   Rel wrel 4368  (class class class)co 5532   .o comu 6022   Er wer 6126   N.cnpi 6462   ~_Q0 ceq0 6476

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ni 6494  df-enq0 6614

This theorem is referenced by:  enq0eceq  6627  nqnq0pi  6628  mulcanenq0ec  6635  nnnq0lem1  6636  addnq0mo  6637  mulnq0mo  6638