Theorem enq0ref 6623

Description: The equivalence relation for non-negative fractions is reflexive. Lemma for enq0er 6625. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enq0ref	|- ( f e. ( om X. N. ) <-> f ~Q0 f )

Proof of Theorem enq0ref

Dummy variables u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxpi 4379	. . . . . 6 |- ( f e. ( om X. N. ) -> E. z E. w ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) )
2		elxpi 4379	. . . . . 6 |- ( f e. ( om X. N. ) -> E. v E. u ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) )
3		ee4anv 1850	. . . . . 6 |- ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) <-> ( E. z E. w ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ E. v E. u ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 408	. . . . 5 |- ( f e. ( om X. N. ) -> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) )
5		eqtr2 2099	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) -> <. z , w >. = <. v , u >. )
6		vex 2604	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. _V
7		vex 2604	. . . . . . . . . . . . 13 |- w e. _V
8	6, 7	opth 3992	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. z , w >. = <. v , u >. <-> ( z = v /\ w = u ) )
9	5, 8	sylib 120	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) -> ( z = v /\ w = u ) )
10		oveq1 5539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = v -> ( z .o u ) = ( v .o u ) )
11		oveq2 5540	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = w -> ( v .o u ) = ( v .o w ) )
12	11	equcoms 1634	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = u -> ( v .o u ) = ( v .o w ) )
13	10, 12	sylan9eq 2133	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z = v /\ w = u ) -> ( z .o u ) = ( v .o w ) )
14	9, 13	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) -> ( z .o u ) = ( v .o w ) )
15	14	ancli 316	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) -> ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( v .o w ) ) )
16	15	ad2ant2r 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( v .o w ) ) )
17		pinn 6499	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. N. -> w e. om )
18		nnmcom 6091	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. om /\ w e. om ) -> ( v .o w ) = ( w .o v ) )
19	17, 18	sylan2 280	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. om /\ w e. N. ) -> ( v .o w ) = ( w .o v ) )
20	19	eqeq2d 2092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. om /\ w e. N. ) -> ( ( z .o u ) = ( v .o w ) <-> ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
21	20	ancoms 264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. N. /\ v e. om ) -> ( ( z .o u ) = ( v .o w ) <-> ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
22	21	ad2ant2lr 493	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( z .o u ) = ( v .o w ) <-> ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
23	22	ad2ant2l 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( ( z .o u ) = ( v .o w ) <-> ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
24	23	anbi2d 451	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( v .o w ) ) <-> ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
25	16, 24	mpbid 145	. . . . . . 7 |- ( ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
26	25	2eximi 1532	. . . . . 6 |- ( E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
27	26	2eximi 1532	. . . . 5 |- ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
28	4, 27	syl 14	. . . 4 |- ( f e. ( om X. N. ) -> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
29	28	ancli 316	. . 3 |- ( f e. ( om X. N. ) -> ( f e. ( om X. N. ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
30		vex 2604	. . . . 5 |- f e. _V
31		eleq1 2141	. . . . . . 7 |- ( x = f -> ( x e. ( om X. N. ) <-> f e. ( om X. N. ) ) )
32	31	anbi1d 452	. . . . . 6 |- ( x = f -> ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) ) )
33		eqeq1 2087	. . . . . . . . 9 |- ( x = f -> ( x = <. z , w >. <-> f = <. z , w >. ) )
34	33	anbi1d 452	. . . . . . . 8 |- ( x = f -> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) <-> ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) )
35	34	anbi1d 452	. . . . . . 7 |- ( x = f -> ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
36	35	4exbidv 1791	. . . . . 6 |- ( x = f -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
37	32, 36	anbi12d 456	. . . . 5 |- ( x = f -> ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
38		eleq1 2141	. . . . . . 7 |- ( y = f -> ( y e. ( om X. N. ) <-> f e. ( om X. N. ) ) )
39	38	anbi2d 451	. . . . . 6 |- ( y = f -> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) ) )
40		eqeq1 2087	. . . . . . . . 9 |- ( y = f -> ( y = <. v , u >. <-> f = <. v , u >. ) )
41	40	anbi2d 451	. . . . . . . 8 |- ( y = f -> ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) <-> ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) ) )
42	41	anbi1d 452	. . . . . . 7 |- ( y = f -> ( ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
43	42	4exbidv 1791	. . . . . 6 |- ( y = f -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
44	39, 43	anbi12d 456	. . . . 5 |- ( y = f -> ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
45		df-enq0 6614	. . . . 5 |- ~Q0 = { <. x , y >. | ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) }
46	30, 30, 37, 44, 45	brab 4027	. . . 4 |- ( f ~Q0 f <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
47		anidm 388	. . . . 5 |- ( ( f e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) <-> f e. ( om X. N. ) )
48	47	anbi1i 445	. . . 4 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
49	46, 48	bitri 182	. . 3 |- ( f ~Q0 f <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
50	29, 49	sylibr 132	. 2 |- ( f e. ( om X. N. ) -> f ~Q0 f )
51	49	simplbi 268	. 2 |- ( f ~Q0 f -> f e. ( om X. N. ) )
52	50, 51	impbii 124	1 |- ( f e. ( om X. N. ) <-> f ~Q0 f )

Syntax hints:   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   <.cop 3401   class class class wbr 3785   omcom 4331   X. cxp 4361  (class class class)co 5532   .o comu 6022   N.cnpi 6462   ~_Q0 ceq0 6476

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-ni 6494  df-enq0 6614

This theorem is referenced by:  enq0er  6625