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Theorem fimaxre2 10109
Description: A nonempty finite set of real numbers has an upper bound. (Contributed by Jeff Madsen, 27-May-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
fimaxre2 |- ( ( A C_ RR /\ A e. Fin ) -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
Distinct variable group:   x, A, y
Proof of Theorem fimaxre2
Dummy variables s u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3020 . . . 4 |- ( w = (/) -> ( w C_ RR <-> (/) C_ RR ) )
2 raleq 2549 . . . . 5 |- ( w = (/) -> ( A. y e. w y <_ x <-> A. y e. (/) y <_ x ) )
32rexbidv 2369 . . . 4 |- ( w = (/) -> ( E. x e. RR A. y e. w y <_ x <-> E. x e. RR A. y e. (/) y <_ x ) )
41, 3imbi12d 232 . . 3 |- ( w = (/) -> ( ( w C_ RR -> E. x e. RR A. y e. w y <_ x ) <-> ( (/) C_ RR -> E. x e. RR A. y e. (/) y <_ x ) ) )
5 sseq1 3020 . . . 4 |- ( w = u -> ( w C_ RR <-> u C_ RR ) )
6 raleq 2549 . . . . 5 |- ( w = u -> ( A. y e. w y <_ x <-> A. y e. u y <_ x ) )
76rexbidv 2369 . . . 4 |- ( w = u -> ( E. x e. RR A. y e. w y <_ x <-> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) )
85, 7imbi12d 232 . . 3 |- ( w = u -> ( ( w C_ RR -> E. x e. RR A. y e. w y <_ x ) <-> ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) )
9 sseq1 3020 . . . 4 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( w C_ RR <-> ( u u. { v } ) C_ RR ) )
10 raleq 2549 . . . . 5 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( A. y e. w y <_ x <-> A. y e. ( u u. { v } ) y <_ x ) )
1110rexbidv 2369 . . . 4 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( E. x e. RR A. y e. w y <_ x <-> E. x e. RR A. y e. ( u u. { v } ) y <_ x ) )
129, 11imbi12d 232 . . 3 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( ( w C_ RR -> E. x e. RR A. y e. w y <_ x ) <-> ( ( u u. { v } ) C_ RR -> E. x e. RR A. y e. ( u u. { v } ) y <_ x ) ) )
13 sseq1 3020 . . . 4 |- ( w = A -> ( w C_ RR <-> A C_ RR ) )
14 raleq 2549 . . . . 5 |- ( w = A -> ( A. y e. w y <_ x <-> A. y e. A y <_ x ) )
1514rexbidv 2369 . . . 4 |- ( w = A -> ( E. x e. RR A. y e. w y <_ x <-> E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) )
1613, 15imbi12d 232 . . 3 |- ( w = A -> ( ( w C_ RR -> E. x e. RR A. y e. w y <_ x ) <-> ( A C_ RR -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) ) )
17 0re 7119 . . . . 5 |- 0 e. RR
18 ral0 3342 . . . . 5 |- A. y e. (/) y <_ 0
19 breq2 3789 . . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( y <_ x <-> y <_ 0 ) )
2019ralbidv 2368 . . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( A. y e. (/) y <_ x <-> A. y e. (/) y <_ 0 ) )
2120rspcev 2701 . . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ A. y e. (/) y <_ 0 ) -> E. x e. RR A. y e. (/) y <_ x )
2217, 18, 21mp2an 416 . . . 4 |- E. x e. RR A. y e. (/) y <_ x
2322a1i 9 . . 3 |- ( (/) C_ RR -> E. x e. RR A. y e. (/) y <_ x )
24 unss 3146 . . . . . . . . . 10 |- ( ( u C_ RR /\ { v } C_ RR ) <-> ( u u. { v } ) C_ RR )
2524biimpri 131 . . . . . . . . 9 |- ( ( u u. { v } ) C_ RR -> ( u C_ RR /\ { v } C_ RR ) )
2625simpld 110 . . . . . . . 8 |- ( ( u u. { v } ) C_ RR -> u C_ RR )
2726adantl 271 . . . . . . 7 |- ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) -> u C_ RR )
28 simplr 496 . . . . . . 7 |- ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) -> ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) )
2927, 28mpd 13 . . . . . 6 |- ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x )
30 breq2 3789 . . . . . . . 8 |- ( x = s -> ( y <_ x <-> y <_ s ) )
3130ralbidv 2368 . . . . . . 7 |- ( x = s -> ( A. y e. u y <_ x <-> A. y e. u y <_ s ) )
3231cbvrexv 2578 . . . . . 6 |- ( E. x e. RR A. y e. u y <_ x <-> E. s e. RR A. y e. u y <_ s )
3329, 32sylib 120 . . . . 5 |- ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) -> E. s e. RR A. y e. u y <_ s )
34 simprl 497 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> s e. RR )
3525simprd 112 . . . . . . . . 9 |- ( ( u u. { v } ) C_ RR -> { v } C_ RR )
36 vex 2604 . . . . . . . . . 10 |- v e. _V
3736snss 3516 . . . . . . . . 9 |- ( v e. RR <-> { v } C_ RR )
3835, 37sylibr 132 . . . . . . . 8 |- ( ( u u. { v } ) C_ RR -> v e. RR )
3938ad2antlr 472 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> v e. RR )
40 maxcl 10096 . . . . . . 7 |- ( ( s e. RR /\ v e. RR ) -> sup ( { s , v } , RR , < ) e. RR )
4134, 39, 40syl2anc 403 . . . . . 6 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> sup ( { s , v } , RR , < ) e. RR )
42 nfv 1461 . . . . . . . . . . 11 |- F/ y u e. Fin
43 nfv 1461 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ y u C_ RR
44 nfcv 2219 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ y RR
45 nfra1 2397 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y A. y e. u y <_ x
4644, 45nfrexxy 2403 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ y E. x e. RR A. y e. u y <_ x
4743, 46nfim 1504 . . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x )
4842, 47nfan 1497 . . . . . . . . . 10 |- F/ y ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) )
49 nfv 1461 . . . . . . . . . 10 |- F/ y ( u u. { v } ) C_ RR
5048, 49nfan 1497 . . . . . . . . 9 |- F/ y ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR )
51 nfv 1461 . . . . . . . . . 10 |- F/ y s e. RR
52 nfra1 2397 . . . . . . . . . 10 |- F/ y A. y e. u y <_ s
5351, 52nfan 1497 . . . . . . . . 9 |- F/ y ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s )
5450, 53nfan 1497 . . . . . . . 8 |- F/ y ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) )
55 simprr 498 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> A. y e. u y <_ s )
56 maxle1 10097 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s e. RR /\ v e. RR ) -> s <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
5734, 39, 56syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> s <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
58 r19.27av 2492 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. y e. u y <_ s /\ s <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) -> A. y e. u ( y <_ s /\ s <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
5955, 57, 58syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> A. y e. u ( y <_ s /\ s <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
6059r19.21bi 2449 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) /\ y e. u ) -> ( y <_ s /\ s <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
6127ad2antrr 471 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) /\ y e. u ) -> u C_ RR )
62 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) /\ y e. u ) -> y e. u )
6361, 62sseldd 3000 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) /\ y e. u ) -> y e. RR )
6434adantr 270 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) /\ y e. u ) -> s e. RR )
6541adantr 270 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) /\ y e. u ) -> sup ( { s , v } , RR , < ) e. RR )
66 letr 7194 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR /\ s e. RR /\ sup ( { s , v } , RR , < ) e. RR ) -> ( ( y <_ s /\ s <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) -> y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
6763, 64, 65, 66syl3anc 1169 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) /\ y e. u ) -> ( ( y <_ s /\ s <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) -> y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
6860, 67mpd 13 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) /\ y e. u ) -> y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
6968ex 113 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> ( y e. u -> y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
7054, 69ralrimi 2432 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> A. y e. u y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
71 maxle2 10098 . . . . . . . . 9 |- ( ( s e. RR /\ v e. RR ) -> v <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
7234, 39, 71syl2anc 403 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> v <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
73 breq1 3788 . . . . . . . . . 10 |- ( y = v -> ( y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) <-> v <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
7473ralsng 3433 . . . . . . . . 9 |- ( v e. RR -> ( A. y e. { v } y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) <-> v <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
7539, 74syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> ( A. y e. { v } y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) <-> v <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
7672, 75mpbird 165 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> A. y e. { v } y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
77 ralun 3154 . . . . . . 7 |- ( ( A. y e. u y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) /\ A. y e. { v } y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) -> A. y e. ( u u. { v } ) y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
7870, 76, 77syl2anc 403 . . . . . 6 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> A. y e. ( u u. { v } ) y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
79 breq2 3789 . . . . . . . 8 |- ( x = sup ( { s , v } , RR , < ) -> ( y <_ x <-> y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
8079ralbidv 2368 . . . . . . 7 |- ( x = sup ( { s , v } , RR , < ) -> ( A. y e. ( u u. { v } ) y <_ x <-> A. y e. ( u u. { v } ) y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
8180rspcev 2701 . . . . . 6 |- ( ( sup ( { s , v } , RR , < ) e. RR /\ A. y e. ( u u. { v } ) y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) -> E. x e. RR A. y e. ( u u. { v } ) y <_ x )
8241, 78, 81syl2anc 403 . . . . 5 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> E. x e. RR A. y e. ( u u. { v } ) y <_ x )
8333, 82rexlimddv 2481 . . . 4 |- ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) -> E. x e. RR A. y e. ( u u. { v } ) y <_ x )
8483exp31 356 . . 3 |- ( u e. Fin -> ( ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) -> ( ( u u. { v } ) C_ RR -> E. x e. RR A. y e. ( u u. { v } ) y <_ x ) ) )
854, 8, 12, 16, 23, 84findcard2 6373 . 2 |- ( A e. Fin -> ( A C_ RR -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) )
8685impcom 123 1 |- ( ( A C_ RR /\ A e. Fin ) -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   E.wrex 2349   u. cun 2971   C_ wss 2973   (/)c0 3251   {csn 3398   {cpr 3399   class class class wbr 3785   Fincfn 6244   supcsup 6395   RRcr 6980   0cc0 6981   < clt 7153   <_ cle 7154
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095  ax-caucvg 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-er 6129  df-en 6245  df-fin 6247  df-sup 6397  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-rp 8735  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-cj 9729  df-re 9730  df-im 9731  df-rsqrt 9884  df-abs 9885
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