Theorem fo1st 5804

Description: The 1st function maps the universe onto the universe. (Contributed by NM, 14-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fo1st	|- 1st : _V -onto-> _V

Proof of Theorem fo1st

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2604	. . . . . 6 |- x e. _V
2	1	snex 3957	. . . . 5 |- { x } e. _V
3	2	dmex 4616	. . . 4 |- dom { x } e. _V
4	3	uniex 4192	. . 3 |- U. dom { x } e. _V
5		df-1st 5787	. . 3 |- 1st = ( x e. _V |-> U. dom { x } )
6	4, 5	fnmpti 5047	. 2 |- 1st Fn _V
7	5	rnmpt 4600	. . 3 |- ran 1st = { y | E. x e. _V y = U. dom { x } }
8		vex 2604	. . . . 5 |- y e. _V
9	8, 8	opex 3984	. . . . . 6 |- <. y , y >. e. _V
10	8, 8	op1sta 4822	. . . . . . 7 |- U. dom { <. y , y >. } = y
11	10	eqcomi 2085	. . . . . 6 |- y = U. dom { <. y , y >. }
12		sneq 3409	. . . . . . . . . 10 |- ( x = <. y , y >. -> { x } = { <. y , y >. } )
13	12	dmeqd 4555	. . . . . . . . 9 |- ( x = <. y , y >. -> dom { x } = dom { <. y , y >. } )
14	13	unieqd 3612	. . . . . . . 8 |- ( x = <. y , y >. -> U. dom { x } = U. dom { <. y , y >. } )
15	14	eqeq2d 2092	. . . . . . 7 |- ( x = <. y , y >. -> ( y = U. dom { x } <-> y = U. dom { <. y , y >. } ) )
16	15	rspcev 2701	. . . . . 6 |- ( ( <. y , y >. e. _V /\ y = U. dom { <. y , y >. } ) -> E. x e. _V y = U. dom { x } )
17	9, 11, 16	mp2an 416	. . . . 5 |- E. x e. _V y = U. dom { x }
18	8, 17	2th 172	. . . 4 |- ( y e. _V <-> E. x e. _V y = U. dom { x } )
19	18	abbi2i 2193	. . 3 |- _V = { y | E. x e. _V y = U. dom { x } }
20	7, 19	eqtr4i 2104	. 2 |- ran 1st = _V
21		df-fo 4928	. 2 |- ( 1st : _V -onto-> _V <-> ( 1st Fn _V /\ ran 1st = _V ) )
22	6, 20, 21	mpbir2an 883	1 |- 1st : _V -onto-> _V

Syntax hints:   = wceq 1284   e. wcel 1433   {cab 2067   E.wrex 2349   _Vcvv 2601   {csn 3398   <.cop 3401   U.cuni 3601   dom cdm 4363   ran crn 4364   Fn wfn 4917   -onto->wfo 4920   1stc1st 5785

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-fun 4924  df-fn 4925  df-fo 4928  df-1st 5787

This theorem is referenced by:  1stcof  5810  1stexg  5814  df1st2  5860  1stconst  5862  algrflem  5870  algrflemg  5871