Theorem fzouzsplit 9188

Description: Split an upper integer set into a half-open integer range and another upper integer set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fzouzsplit	|- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ZZ>= ` A ) = ( ( A..^ B ) u. ( ZZ>= ` B ) ) )

Proof of Theorem fzouzsplit

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 8628	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. ZZ )
2		eluzelz 8628	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` A ) -> x e. ZZ )
3		zlelttric 8396	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( B <_ x \/ x < B ) )
4	1, 2, 3	syl2an 283	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ x e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( B <_ x \/ x < B ) )
5	4	orcomd 680	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ x e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( x < B \/ B <_ x ) )
6		id 19	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` A ) -> x e. ( ZZ>= ` A ) )
7		elfzo2 9160	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( A..^ B ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` A ) /\ B e. ZZ /\ x < B ) )
8		df-3an 921	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` A ) /\ B e. ZZ /\ x < B ) <-> ( ( x e. ( ZZ>= ` A ) /\ B e. ZZ ) /\ x < B ) )
9	7, 8	bitri 182	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( A..^ B ) <-> ( ( x e. ( ZZ>= ` A ) /\ B e. ZZ ) /\ x < B ) )
10	9	baib 861	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` A ) /\ B e. ZZ ) -> ( x e. ( A..^ B ) <-> x < B ) )
11	6, 1, 10	syl2anr 284	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ x e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( x e. ( A..^ B ) <-> x < B ) )
12		eluz 8632	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( x e. ( ZZ>= ` B ) <-> B <_ x ) )
13	1, 2, 12	syl2an 283	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ x e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( x e. ( ZZ>= ` B ) <-> B <_ x ) )
14	11, 13	orbi12d 739	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ x e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( x e. ( A..^ B ) \/ x e. ( ZZ>= ` B ) ) <-> ( x < B \/ B <_ x ) ) )
15	5, 14	mpbird 165	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ x e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( x e. ( A..^ B ) \/ x e. ( ZZ>= ` B ) ) )
16	15	ex 113	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( x e. ( ZZ>= ` A ) -> ( x e. ( A..^ B ) \/ x e. ( ZZ>= ` B ) ) ) )
17		elun 3113	. . . 4 |- ( x e. ( ( A..^ B ) u. ( ZZ>= ` B ) ) <-> ( x e. ( A..^ B ) \/ x e. ( ZZ>= ` B ) ) )
18	16, 17	syl6ibr 160	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( x e. ( ZZ>= ` A ) -> x e. ( ( A..^ B ) u. ( ZZ>= ` B ) ) ) )
19	18	ssrdv 3005	. 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ZZ>= ` A ) C_ ( ( A..^ B ) u. ( ZZ>= ` B ) ) )
20		elfzouz 9161	. . . . 5 |- ( x e. ( A..^ B ) -> x e. ( ZZ>= ` A ) )
21	20	ssriv 3003	. . . 4 |- ( A..^ B ) C_ ( ZZ>= ` A )
22	21	a1i 9	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ B ) C_ ( ZZ>= ` A ) )
23		uzss 8639	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ZZ>= ` B ) C_ ( ZZ>= ` A ) )
24	22, 23	unssd 3148	. 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( A..^ B ) u. ( ZZ>= ` B ) ) C_ ( ZZ>= ` A ) )
25	19, 24	eqssd 3016	1 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ZZ>= ` A ) = ( ( A..^ B ) u. ( ZZ>= ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 661   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   u. cun 2971   C_ wss 2973   class class class wbr 3785   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   < clt 7153   <_ cle 7154   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619  ..^cfzo 9152

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-fz 9030  df-fzo 9153

This theorem is referenced by:  zsupcllemstep  10341