Theorem uzss 8639

Description: Subset relationship for two sets of upper integers. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzss	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` N ) C_ ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem uzss

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzle 8631	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )
2	1	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> M <_ N )
3		eluzel2 8624	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
4		eluzelz 8628	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
5	3, 4	jca 300	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
6		zletr 8400	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( M <_ N /\ N <_ k ) -> M <_ k ) )
7	6	3expa 1138	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( M <_ N /\ N <_ k ) -> M <_ k ) )
8	5, 7	sylan 277	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( M <_ N /\ N <_ k ) -> M <_ k ) )
9	2, 8	mpand 419	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( N <_ k -> M <_ k ) )
10	9	imdistanda 436	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( k e. ZZ /\ N <_ k ) -> ( k e. ZZ /\ M <_ k ) ) )
11		eluz1 8623	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( k e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( k e. ZZ /\ N <_ k ) ) )
12	4, 11	syl 14	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( k e. ZZ /\ N <_ k ) ) )
13		eluz1 8623	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( k e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( k e. ZZ /\ M <_ k ) ) )
14	3, 13	syl 14	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( k e. ZZ /\ M <_ k ) ) )
15	10, 12, 14	3imtr4d 201	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( ZZ>= ` N ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) ) )
16	15	ssrdv 3005	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` N ) C_ ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   e. wcel 1433   C_ wss 2973   class class class wbr 3785   ` cfv 4922   <_ cle 7154   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-pre-ltwlin 7089

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-ov 5535  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-neg 7282  df-z 8352  df-uz 8620

This theorem is referenced by:  uzin  8651  uznnssnn  8665  fzopth  9079  4fvwrd4  9150  fzouzsplit  9188  iseqfeq2  9449  cau3lem  10000  isprm3  10500