Theorem gcdn0gt0 10369

Description: The gcd of two integers is positive (nonzero) iff they are not both zero. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
gcdn0gt0	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. ( M = 0 /\ N = 0 ) <-> 0 < ( M gcd N ) ) )

Proof of Theorem gcdn0gt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcl 10358	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M gcd N ) e. NN0 )
2		0re 7119	. . . . 5 |- 0 e. RR
3		nn0re 8297	. . . . 5 |- ( ( M gcd N ) e. NN0 -> ( M gcd N ) e. RR )
4		nn0ge0 8313	. . . . 5 |- ( ( M gcd N ) e. NN0 -> 0 <_ ( M gcd N ) )
5		leltap 7724	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ ( M gcd N ) e. RR /\ 0 <_ ( M gcd N ) ) -> ( 0 < ( M gcd N ) <-> ( M gcd N ) # 0 ) )
6	2, 3, 4, 5	mp3an2i 1273	. . . 4 |- ( ( M gcd N ) e. NN0 -> ( 0 < ( M gcd N ) <-> ( M gcd N ) # 0 ) )
7		nn0z 8371	. . . . 5 |- ( ( M gcd N ) e. NN0 -> ( M gcd N ) e. ZZ )
8		0zd 8363	. . . . 5 |- ( ( M gcd N ) e. NN0 -> 0 e. ZZ )
9		zapne 8422	. . . . 5 |- ( ( ( M gcd N ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) # 0 <-> ( M gcd N ) =/= 0 ) )
10	7, 8, 9	syl2anc 403	. . . 4 |- ( ( M gcd N ) e. NN0 -> ( ( M gcd N ) # 0 <-> ( M gcd N ) =/= 0 ) )
11	6, 10	bitrd 186	. . 3 |- ( ( M gcd N ) e. NN0 -> ( 0 < ( M gcd N ) <-> ( M gcd N ) =/= 0 ) )
12	1, 11	syl 14	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 < ( M gcd N ) <-> ( M gcd N ) =/= 0 ) )
13		gcdeq0 10368	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) = 0 <-> ( M = 0 /\ N = 0 ) ) )
14	13	necon3abid 2284	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) =/= 0 <-> -. ( M = 0 /\ N = 0 ) ) )
15	12, 14	bitr2d 187	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. ( M = 0 /\ N = 0 ) <-> 0 < ( M gcd N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   =/= wne 2245   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   RRcr 6980   0cc0 6981   < clt 7153   <_ cle 7154   # cap 7681   NN0cn0 8288   ZZcz 8351   gcd cgcd 10338

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095  ax-caucvg 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-sup 6397  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-q 8705  df-rp 8735  df-fz 9030  df-fzo 9153  df-fl 9274  df-mod 9325  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-cj 9729  df-re 9730  df-im 9731  df-rsqrt 9884  df-abs 9885  df-dvds 10196  df-gcd 10339

This theorem is referenced by: (None)