Theorem infsupneg 8684

Description: If a set of real numbers has a greatest lower bound, the set of the negation of those numbers has a least upper bound. To go in the other direction see supinfneg 8683. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
infsupneg.ex	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
infsupneg.ss	|- ( ph -> A C_ RR )

Assertion

Ref	Expression
infsupneg	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z, w, x   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x, z, w)

Proof of Theorem infsupneg

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infsupneg.ex	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
2		breq2 3789	. . . . . . . 8 |- ( a = x -> ( y < a <-> y < x ) )
3	2	notbid 624	. . . . . . 7 |- ( a = x -> ( -. y < a <-> -. y < x ) )
4	3	ralbidv 2368	. . . . . 6 |- ( a = x -> ( A. y e. A -. y < a <-> A. y e. A -. y < x ) )
5		breq1 3788	. . . . . . . 8 |- ( a = x -> ( a < y <-> x < y ) )
6	5	imbi1d 229	. . . . . . 7 |- ( a = x -> ( ( a < y -> E. z e. A z < y ) <-> ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
7	6	ralbidv 2368	. . . . . 6 |- ( a = x -> ( A. y e. RR ( a < y -> E. z e. A z < y ) <-> A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
8	4, 7	anbi12d 456	. . . . 5 |- ( a = x -> ( ( A. y e. A -. y < a /\ A. y e. RR ( a < y -> E. z e. A z < y ) ) <-> ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) ) )
9	8	cbvrexv 2578	. . . 4 |- ( E. a e. RR ( A. y e. A -. y < a /\ A. y e. RR ( a < y -> E. z e. A z < y ) ) <-> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
10	1, 9	sylibr 132	. . 3 |- ( ph -> E. a e. RR ( A. y e. A -. y < a /\ A. y e. RR ( a < y -> E. z e. A z < y ) ) )
11		breq1 3788	. . . . . . 7 |- ( b = y -> ( b < a <-> y < a ) )
12	11	notbid 624	. . . . . 6 |- ( b = y -> ( -. b < a <-> -. y < a ) )
13	12	cbvralv 2577	. . . . 5 |- ( A. b e. A -. b < a <-> A. y e. A -. y < a )
14		breq1 3788	. . . . . . . . 9 |- ( c = z -> ( c < b <-> z < b ) )
15	14	cbvrexv 2578	. . . . . . . 8 |- ( E. c e. A c < b <-> E. z e. A z < b )
16	15	imbi2i 224	. . . . . . 7 |- ( ( a < b -> E. c e. A c < b ) <-> ( a < b -> E. z e. A z < b ) )
17	16	ralbii 2372	. . . . . 6 |- ( A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) <-> A. b e. RR ( a < b -> E. z e. A z < b ) )
18		breq2 3789	. . . . . . . 8 |- ( b = y -> ( a < b <-> a < y ) )
19		breq2 3789	. . . . . . . . 9 |- ( b = y -> ( z < b <-> z < y ) )
20	19	rexbidv 2369	. . . . . . . 8 |- ( b = y -> ( E. z e. A z < b <-> E. z e. A z < y ) )
21	18, 20	imbi12d 232	. . . . . . 7 |- ( b = y -> ( ( a < b -> E. z e. A z < b ) <-> ( a < y -> E. z e. A z < y ) ) )
22	21	cbvralv 2577	. . . . . 6 |- ( A. b e. RR ( a < b -> E. z e. A z < b ) <-> A. y e. RR ( a < y -> E. z e. A z < y ) )
23	17, 22	bitri 182	. . . . 5 |- ( A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) <-> A. y e. RR ( a < y -> E. z e. A z < y ) )
24	13, 23	anbi12i 447	. . . 4 |- ( ( A. b e. A -. b < a /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) <-> ( A. y e. A -. y < a /\ A. y e. RR ( a < y -> E. z e. A z < y ) ) )
25	24	rexbii 2373	. . 3 |- ( E. a e. RR ( A. b e. A -. b < a /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) <-> E. a e. RR ( A. y e. A -. y < a /\ A. y e. RR ( a < y -> E. z e. A z < y ) ) )
26	10, 25	sylibr 132	. 2 |- ( ph -> E. a e. RR ( A. b e. A -. b < a /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) )
27		renegcl 7369	. . . . . 6 |- ( a e. RR -> -u a e. RR )
28	27	ad2antlr 472	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( A. b e. A -. b < a /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) ) -> -u a e. RR )
29		simplr 496	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( A. b e. A -. b < a /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) ) -> a e. RR )
30		simprl 497	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( A. b e. A -. b < a /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) ) -> A. b e. A -. b < a )
31		elrabi 2746	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. { w e. RR | -u w e. A } -> y e. RR )
32		negeq 7301	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = y -> -u w = -u y )
33	32	eleq1d 2147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = y -> ( -u w e. A <-> -u y e. A ) )
34	33	elrab3 2750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. RR -> ( y e. { w e. RR | -u w e. A } <-> -u y e. A ) )
35	34	biimpd 142	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR -> ( y e. { w e. RR | -u w e. A } -> -u y e. A ) )
36	31, 35	mpcom 36	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. { w e. RR | -u w e. A } -> -u y e. A )
37		breq1 3788	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = -u y -> ( b < a <-> -u y < a ) )
38	37	notbid 624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = -u y -> ( -. b < a <-> -. -u y < a ) )
39	38	rspcv 2697	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u y e. A -> ( A. b e. A -. b < a -> -. -u y < a ) )
40	36, 39	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { w e. RR | -u w e. A } -> ( A. b e. A -. b < a -> -. -u y < a ) )
41	40	adantr 270	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. { w e. RR | -u w e. A } /\ a e. RR ) -> ( A. b e. A -. b < a -> -. -u y < a ) )
42		ltnegcon1 7567	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. RR /\ y e. RR ) -> ( -u a < y <-> -u y < a ) )
43	42	ancoms 264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR /\ a e. RR ) -> ( -u a < y <-> -u y < a ) )
44	43	notbid 624	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR /\ a e. RR ) -> ( -. -u a < y <-> -. -u y < a ) )
45	31, 44	sylan 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. { w e. RR | -u w e. A } /\ a e. RR ) -> ( -. -u a < y <-> -. -u y < a ) )
46	41, 45	sylibrd 167	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. { w e. RR | -u w e. A } /\ a e. RR ) -> ( A. b e. A -. b < a -> -. -u a < y ) )
47	46	ancoms 264	. . . . . . 7 |- ( ( a e. RR /\ y e. { w e. RR | -u w e. A } ) -> ( A. b e. A -. b < a -> -. -u a < y ) )
48	47	ralrimdva 2441	. . . . . 6 |- ( a e. RR -> ( A. b e. A -. b < a -> A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. -u a < y ) )
49	29, 30, 48	sylc 61	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( A. b e. A -. b < a /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) ) -> A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. -u a < y )
50		nfv 1461	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ c ( ph /\ a e. RR )
51		nfcv 2219	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ c RR
52		nfv 1461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ c a < b
53		nfre1 2407	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ c E. c e. A c < b
54	52, 53	nfim 1504	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ c ( a < b -> E. c e. A c < b )
55	51, 54	nfralya 2404	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ c A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b )
56	50, 55	nfan 1497	. . . . . . . . . . 11 |- F/ c ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) )
57		nfv 1461	. . . . . . . . . . 11 |- F/ c y e. RR
58	56, 57	nfan 1497	. . . . . . . . . 10 |- F/ c ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR )
59		nfv 1461	. . . . . . . . . 10 |- F/ c y < -u a
60	58, 59	nfan 1497	. . . . . . . . 9 |- F/ c ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) /\ y < -u a )
61		simplr 496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) /\ y < -u a ) /\ c e. A ) /\ c < -u y ) -> c e. A )
62		infsupneg.ss	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A C_ RR )
63	62	sseld 2998	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( c e. A -> c e. RR ) )
64	63	ad6antr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) /\ y < -u a ) /\ c e. A ) /\ c < -u y ) -> ( c e. A -> c e. RR ) )
65	61, 64	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) /\ y < -u a ) /\ c e. A ) /\ c < -u y ) -> c e. RR )
66	65	renegcld 7484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) /\ y < -u a ) /\ c e. A ) /\ c < -u y ) -> -u c e. RR )
67	65	recnd 7147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) /\ y < -u a ) /\ c e. A ) /\ c < -u y ) -> c e. CC )
68	67	negnegd 7410	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) /\ y < -u a ) /\ c e. A ) /\ c < -u y ) -> -u -u c = c )
69	68, 61	eqeltrd 2155	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) /\ y < -u a ) /\ c e. A ) /\ c < -u y ) -> -u -u c e. A )
70		negeq 7301	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = -u c -> -u w = -u -u c )
71	70	eleq1d 2147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = -u c -> ( -u w e. A <-> -u -u c e. A ) )
72	71	elrab 2749	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u c e. { w e. RR | -u w e. A } <-> ( -u c e. RR /\ -u -u c e. A ) )
73	66, 69, 72	sylanbrc 408	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) /\ y < -u a ) /\ c e. A ) /\ c < -u y ) -> -u c e. { w e. RR | -u w e. A } )
74		simp-4r 508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) /\ y < -u a ) /\ c e. A ) /\ c < -u y ) -> y e. RR )
75		simpr 108	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) /\ y < -u a ) /\ c e. A ) /\ c < -u y ) -> c < -u y )
76	65, 74, 75	ltnegcon2d 7626	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) /\ y < -u a ) /\ c e. A ) /\ c < -u y ) -> y < -u c )
77		breq2 3789	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = -u c -> ( y < z <-> y < -u c ) )
78	77	rspcev 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u c e. { w e. RR | -u w e. A } /\ y < -u c ) -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z )
79	73, 76, 78	syl2anc 403	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) /\ y < -u a ) /\ c e. A ) /\ c < -u y ) -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z )
80		simpllr 500	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) -> a e. RR )
81		simpr 108	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) -> y e. RR )
82		simplr 496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) -> A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) )
83	80, 81, 82	jca31 302	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) -> ( ( a e. RR /\ y e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) )
84		ltnegcon2 7568	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. RR /\ a e. RR ) -> ( y < -u a <-> a < -u y ) )
85	84	ancoms 264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. RR /\ y e. RR ) -> ( y < -u a <-> a < -u y ) )
86	85	adantr 270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. RR /\ y e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) -> ( y < -u a <-> a < -u y ) )
87		renegcl 7369	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. RR -> -u y e. RR )
88		breq2 3789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = -u y -> ( a < b <-> a < -u y ) )
89		breq2 3789	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b = -u y -> ( c < b <-> c < -u y ) )
90	89	rexbidv 2369	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = -u y -> ( E. c e. A c < b <-> E. c e. A c < -u y ) )
91	88, 90	imbi12d 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = -u y -> ( ( a < b -> E. c e. A c < b ) <-> ( a < -u y -> E. c e. A c < -u y ) ) )
92	91	rspcv 2697	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -u y e. RR -> ( A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) -> ( a < -u y -> E. c e. A c < -u y ) ) )
93	87, 92	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR -> ( A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) -> ( a < -u y -> E. c e. A c < -u y ) ) )
94	93	adantl 271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. RR /\ y e. RR ) -> ( A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) -> ( a < -u y -> E. c e. A c < -u y ) ) )
95	94	imp 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. RR /\ y e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) -> ( a < -u y -> E. c e. A c < -u y ) )
96	86, 95	sylbid 148	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. RR /\ y e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) -> ( y < -u a -> E. c e. A c < -u y ) )
97	96	imp 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( a e. RR /\ y e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y < -u a ) -> E. c e. A c < -u y )
98	83, 97	sylan 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) /\ y < -u a ) -> E. c e. A c < -u y )
99	60, 79, 98	r19.29af 2497	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) /\ y < -u a ) -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z )
100	99	ex 113	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) -> ( y < -u a -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z ) )
101	100	ralrimiva 2434	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) -> A. y e. RR ( y < -u a -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z ) )
102	101	adantrl 461	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( A. b e. A -. b < a /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) ) -> A. y e. RR ( y < -u a -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z ) )
103		breq1 3788	. . . . . . . . 9 |- ( x = -u a -> ( x < y <-> -u a < y ) )
104	103	notbid 624	. . . . . . . 8 |- ( x = -u a -> ( -. x < y <-> -. -u a < y ) )
105	104	ralbidv 2368	. . . . . . 7 |- ( x = -u a -> ( A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. x < y <-> A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. -u a < y ) )
106		breq2 3789	. . . . . . . . 9 |- ( x = -u a -> ( y < x <-> y < -u a ) )
107	106	imbi1d 229	. . . . . . . 8 |- ( x = -u a -> ( ( y < x -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z ) <-> ( y < -u a -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z ) ) )
108	107	ralbidv 2368	. . . . . . 7 |- ( x = -u a -> ( A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z ) <-> A. y e. RR ( y < -u a -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z ) ) )
109	105, 108	anbi12d 456	. . . . . 6 |- ( x = -u a -> ( ( A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z ) ) <-> ( A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. -u a < y /\ A. y e. RR ( y < -u a -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z ) ) ) )
110	109	rspcev 2701	. . . . 5 |- ( ( -u a e. RR /\ ( A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. -u a < y /\ A. y e. RR ( y < -u a -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z ) ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z ) ) )
111	28, 49, 102, 110	syl12anc 1167	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( A. b e. A -. b < a /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z ) ) )
112	111	ex 113	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( ( A. b e. A -. b < a /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z ) ) ) )
113	112	rexlimdva 2477	. 2 |- ( ph -> ( E. a e. RR ( A. b e. A -. b < a /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z ) ) ) )
114	26, 113	mpd 13	1 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   E.wrex 2349   {crab 2352   C_ wss 2973   class class class wbr 3785   RRcr 6980   < clt 7153   -ucneg 7280

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-ltxr 7158  df-sub 7281  df-neg 7282

This theorem is referenced by:  infssuzcldc  10347