Theorem iseqcaopr2 9461

Description: The sum of two infinite series (generalized to an arbitrary commutative and associative operation). (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqcaopr2.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
iseqcaopr2.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
iseqcaopr2.3	|- ( ( ph /\ ( ( x e. S /\ y e. S ) /\ ( z e. S /\ w e. S ) ) ) -> ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
iseqcaopr2.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqcaopr2.5	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. S )
iseqcaopr2.6	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. S )
iseqcaopr2.7	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
iseqcaopr2.s	|- ( ph -> S e. V )

Assertion

Ref	Expression
iseqcaopr2	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   w, .+ , x, y, z   k, F, w, x, y, z   k, G, w, x, y, z   k, H, x, y, z   k, M, w, x, y, z   k, N, x, y, z   Q, k, w, x, y, z   S, k, w, x, y, z   ph, k, w, x, y, z

Allowed substitution hints:   .+ ( k)   H( w)   N( w)   V( x, y, z, w, k)

Proof of Theorem iseqcaopr2

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqcaopr2.1	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
2		iseqcaopr2.2	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
3		iseqcaopr2.4	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4		iseqcaopr2.5	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. S )
5		iseqcaopr2.6	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. S )
6		iseqcaopr2.7	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
7		elfzouz 9161	. . . . 5 |- ( n e. ( M..^ N ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
8	7	adantl 271	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
9		iseqcaopr2.s	. . . . 5 |- ( ph -> S e. V )
10	9	adantr 270	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> S e. V )
11	5	ralrimiva 2434	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. S )
12	11	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. S )
13		fveq2 5198	. . . . . . 7 |- ( k = x -> ( G ` k ) = ( G ` x ) )
14	13	eleq1d 2147	. . . . . 6 |- ( k = x -> ( ( G ` k ) e. S <-> ( G ` x ) e. S ) )
15	14	rspccva 2700	. . . . 5 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. S /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
16	12, 15	sylan 277	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
17	1	adantlr 460	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
18	8, 10, 16, 17	iseqcl 9443	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) e. S )
19		fzssuz 9083	. . . . 5 |- ( M ... N ) C_ ( ZZ>= ` M )
20		fzofzp1 9236	. . . . 5 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
21	19, 20	sseldi 2997	. . . 4 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
22		fveq2 5198	. . . . . 6 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( G ` k ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
23	22	eleq1d 2147	. . . . 5 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( G ` k ) e. S <-> ( G ` ( n + 1 ) ) e. S ) )
24	23	rspccva 2700	. . . 4 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. S /\ ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` ( n + 1 ) ) e. S )
25	11, 21, 24	syl2an 283	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( G ` ( n + 1 ) ) e. S )
26	4	ralrimiva 2434	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. S )
27		fveq2 5198	. . . . . . . . 9 |- ( k = x -> ( F ` k ) = ( F ` x ) )
28	27	eleq1d 2147	. . . . . . . 8 |- ( k = x -> ( ( F ` k ) e. S <-> ( F ` x ) e. S ) )
29	28	rspccva 2700	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. S /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
30	26, 29	sylan 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
31	30	adantlr 460	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
32	8, 10, 31, 17	iseqcl 9443	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) e. S )
33		fveq2 5198	. . . . . . 7 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
34	33	eleq1d 2147	. . . . . 6 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) e. S <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) )
35	34	rspccva 2700	. . . . 5 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. S /\ ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S )
36	26, 21, 35	syl2an 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S )
37		iseqcaopr2.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( x e. S /\ y e. S ) /\ ( z e. S /\ w e. S ) ) ) -> ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
38	37	anassrs 392	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) /\ ( z e. S /\ w e. S ) ) -> ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
39	38	ralrimivva 2443	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
40	39	ralrimivva 2443	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
41	40	adantr 270	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. S A. y e. S A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
42		oveq1 5539	. . . . . . . 8 |- ( x = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) -> ( x Q z ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) )
43	42	oveq1d 5547	. . . . . . 7 |- ( x = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) -> ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) )
44		oveq1 5539	. . . . . . . 8 |- ( x = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) -> ( x .+ y ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) )
45	44	oveq1d 5547	. . . . . . 7 |- ( x = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) -> ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
46	43, 45	eqeq12d 2095	. . . . . 6 |- ( x = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) -> ( ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) <-> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) ) )
47	46	2ralbidv 2390	. . . . 5 |- ( x = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) -> ( A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) <-> A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) ) )
48		oveq1 5539	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( y Q w ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) )
49	48	oveq2d 5548	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) )
50		oveq2 5540	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
51	50	oveq1d 5547	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) )
52	49, 51	eqeq12d 2095	. . . . . 6 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) <-> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) ) )
53	52	2ralbidv 2390	. . . . 5 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) <-> A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) ) )
54	47, 53	rspc2va 2714	. . . 4 |- ( ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) e. S /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) ) -> A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) )
55	32, 36, 41, 54	syl21anc 1168	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) )
56		oveq2 5540	. . . . . 6 |- ( z = ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) )
57	56	oveq1d 5547	. . . . 5 |- ( z = ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) )
58		oveq1 5539	. . . . . 6 |- ( z = ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) -> ( z .+ w ) = ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ w ) )
59	58	oveq2d 5548	. . . . 5 |- ( z = ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ w ) ) )
60	57, 59	eqeq12d 2095	. . . 4 |- ( z = ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) -> ( ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) <-> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ w ) ) ) )
61		oveq2 5540	. . . . . 6 |- ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
62	61	oveq2d 5548	. . . . 5 |- ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
63		oveq2 5540	. . . . . 6 |- ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ w ) = ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
64	63	oveq2d 5548	. . . . 5 |- ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
65	62, 64	eqeq12d 2095	. . . 4 |- ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ w ) ) <-> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
66	60, 65	rspc2va 2714	. . 3 |- ( ( ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) e. S /\ ( G ` ( n + 1 ) ) e. S ) /\ A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
67	18, 25, 55, 66	syl21anc 1168	. 2 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
68	1, 2, 3, 4, 5, 6, 67, 9	iseqcaopr3 9460	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   1c1 6982   + caddc 6984   ZZ>=cuz 8619   ...cfz 9029  ..^cfzo 9152   seqcseq 9431

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-fz 9030  df-fzo 9153  df-iseq 9432

This theorem is referenced by:  iseqcaopr  9462  isersub  9464