Theorem iseqcaopr3 9460

Description: Lemma for iseqcaopr2 . (Contributed by Jim Kingdon, 16-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqcaopr3.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
iseqcaopr3.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
iseqcaopr3.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqcaopr3.4	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. S )
iseqcaopr3.5	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. S )
iseqcaopr3.6	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
iseqcaopr3.7	|- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
iseqcaopr3.s	|- ( ph -> S e. V )

Assertion

Ref	Expression
iseqcaopr3	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   .+ , n, x, y   k, F, n, x, y   k, G, n, x, y   k, H, n, x, y   k, M, n, x, y   k, N, n, x, y   Q, k, n, x, y   S, k, n, x, y   ph, k, n, x, y

Allowed substitution hints:   .+ ( k)   V( x, y, k, n)

Proof of Theorem iseqcaopr3

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqcaopr3.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 9051	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		fveq2 5198	. . . . 5 |- ( z = M -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , H , S ) ` M ) )
5		fveq2 5198	. . . . . 6 |- ( z = M -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) )
6		fveq2 5198	. . . . . 6 |- ( z = M -> ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , G , S ) ` M ) )
7	5, 6	oveq12d 5550	. . . . 5 |- ( z = M -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` M ) ) )
8	4, 7	eqeq12d 2095	. . . 4 |- ( z = M -> ( ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) <-> ( seq M ( .+ , H , S ) ` M ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` M ) ) ) )
9	8	imbi2d 228	. . 3 |- ( z = M -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` M ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` M ) ) ) ) )
10		fveq2 5198	. . . . 5 |- ( z = n -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , H , S ) ` n ) )
11		fveq2 5198	. . . . . 6 |- ( z = n -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) )
12		fveq2 5198	. . . . . 6 |- ( z = n -> ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) )
13	11, 12	oveq12d 5550	. . . . 5 |- ( z = n -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) )
14	10, 13	eqeq12d 2095	. . . 4 |- ( z = n -> ( ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) <-> ( seq M ( .+ , H , S ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) ) )
15	14	imbi2d 228	. . 3 |- ( z = n -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) ) ) )
16		fveq2 5198	. . . . 5 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , H , S ) ` ( n + 1 ) ) )
17		fveq2 5198	. . . . . 6 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) )
18		fveq2 5198	. . . . . 6 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , G , S ) ` ( n + 1 ) ) )
19	17, 18	oveq12d 5550	. . . . 5 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) )
20	16, 19	eqeq12d 2095	. . . 4 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) <-> ( seq M ( .+ , H , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
21	20	imbi2d 228	. . 3 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
22		fveq2 5198	. . . . 5 |- ( z = N -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , H , S ) ` N ) )
23		fveq2 5198	. . . . . 6 |- ( z = N -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) )
24		fveq2 5198	. . . . . 6 |- ( z = N -> ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) )
25	23, 24	oveq12d 5550	. . . . 5 |- ( z = N -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) ) )
26	22, 25	eqeq12d 2095	. . . 4 |- ( z = N -> ( ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) <-> ( seq M ( .+ , H , S ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) ) ) )
27	26	imbi2d 228	. . 3 |- ( z = N -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) ) ) ) )
28		eluzel2 8624	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
29	1, 28	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
30		uzid 8633	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
31	29, 30	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
32		iseqcaopr3.6	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
33	32	ralrimiva 2434	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
34		fveq2 5198	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( H ` k ) = ( H ` M ) )
35		fveq2 5198	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
36		fveq2 5198	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( G ` k ) = ( G ` M ) )
37	35, 36	oveq12d 5550	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) = ( ( F ` M ) Q ( G ` M ) ) )
38	34, 37	eqeq12d 2095	. . . . . . 7 |- ( k = M -> ( ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) <-> ( H ` M ) = ( ( F ` M ) Q ( G ` M ) ) ) )
39	38	rspcv 2697	. . . . . 6 |- ( M e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) -> ( H ` M ) = ( ( F ` M ) Q ( G ` M ) ) ) )
40	31, 33, 39	sylc 61	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` M ) = ( ( F ` M ) Q ( G ` M ) ) )
41		iseqcaopr3.s	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. V )
42		iseqcaopr3.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
43	42	ralrimivva 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S ( x Q y ) e. S )
44	43	adantr 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. x e. S A. y e. S ( x Q y ) e. S )
45		iseqcaopr3.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. S )
46		iseqcaopr3.5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. S )
47		oveq1 5539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( F ` k ) -> ( x Q y ) = ( ( F ` k ) Q y ) )
48	47	eleq1d 2147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( F ` k ) -> ( ( x Q y ) e. S <-> ( ( F ` k ) Q y ) e. S ) )
49		oveq2 5540	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( G ` k ) -> ( ( F ` k ) Q y ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
50	49	eleq1d 2147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( G ` k ) -> ( ( ( F ` k ) Q y ) e. S <-> ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) e. S ) )
51	48, 50	rspc2v 2713	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` k ) e. S /\ ( G ` k ) e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( x Q y ) e. S -> ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) e. S ) )
52	45, 46, 51	syl2anc 403	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( x Q y ) e. S -> ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) e. S ) )
53	44, 52	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) e. S )
54	32, 53	eqeltrd 2155	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) e. S )
55	54	ralrimiva 2434	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` k ) e. S )
56		fveq2 5198	. . . . . . . . 9 |- ( k = x -> ( H ` k ) = ( H ` x ) )
57	56	eleq1d 2147	. . . . . . . 8 |- ( k = x -> ( ( H ` k ) e. S <-> ( H ` x ) e. S ) )
58	57	rspcv 2697	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` k ) e. S -> ( H ` x ) e. S ) )
59	55, 58	mpan9 275	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` x ) e. S )
60		iseqcaopr3.1	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
61	29, 41, 59, 60	iseq1 9442	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` M ) = ( H ` M ) )
62	45	ralrimiva 2434	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. S )
63		fveq2 5198	. . . . . . . . . 10 |- ( k = x -> ( F ` k ) = ( F ` x ) )
64	63	eleq1d 2147	. . . . . . . . 9 |- ( k = x -> ( ( F ` k ) e. S <-> ( F ` x ) e. S ) )
65	64	rspcv 2697	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. S -> ( F ` x ) e. S ) )
66	62, 65	mpan9 275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
67	29, 41, 66, 60	iseq1 9442	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) = ( F ` M ) )
68	46	ralrimiva 2434	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. S )
69		fveq2 5198	. . . . . . . . . 10 |- ( k = x -> ( G ` k ) = ( G ` x ) )
70	69	eleq1d 2147	. . . . . . . . 9 |- ( k = x -> ( ( G ` k ) e. S <-> ( G ` x ) e. S ) )
71	70	rspcv 2697	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. S -> ( G ` x ) e. S ) )
72	68, 71	mpan9 275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
73	29, 41, 72, 60	iseq1 9442	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , G , S ) ` M ) = ( G ` M ) )
74	67, 73	oveq12d 5550	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` M ) ) = ( ( F ` M ) Q ( G ` M ) ) )
75	40, 61, 74	3eqtr4d 2123	. . . 4 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` M ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` M ) ) )
76	75	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` M ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` M ) ) ) )
77		oveq1 5539	. . . . . 6 |- ( ( seq M ( .+ , H , S ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) -> ( ( seq M ( .+ , H , S ) ` n ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) )
78		elfzouz 9161	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( M..^ N ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
79	78	adantl 271	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
80	41	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> S e. V )
81	59	adantlr 460	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` x ) e. S )
82	60	adantlr 460	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
83	79, 80, 81, 82	iseqp1 9445	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , H , S ) ` n ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) )
84		iseqcaopr3.7	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
85		fzofzp1 9236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
86		elfzuz 9041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
87	85, 86	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
88	87	adantl 271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
89	33	adantr 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
90		fveq2 5198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( H ` k ) = ( H ` ( n + 1 ) ) )
91		fveq2 5198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
92		fveq2 5198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( G ` k ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
93	91, 92	oveq12d 5550	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
94	90, 93	eqeq12d 2095	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) <-> ( H ` ( n + 1 ) ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
95	94	rspcv 2697	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) -> ( H ` ( n + 1 ) ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
96	88, 89, 95	sylc 61	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( H ` ( n + 1 ) ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
97	96	oveq2d 5548	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
98	66	adantlr 460	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
99	79, 80, 98, 82	iseqp1 9445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
100	72	adantlr 460	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
101	79, 80, 100, 82	iseqp1 9445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , G , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
102	99, 101	oveq12d 5550	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
103	84, 97, 102	3eqtr4rd 2124	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) )
104	83, 103	eqeq12d 2095	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , H , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) <-> ( ( seq M ( .+ , H , S ) ` n ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) ) )
105	77, 104	syl5ibr 154	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , H , S ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
106	105	expcom 114	. . . 4 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( ph -> ( ( seq M ( .+ , H , S ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
107	106	a2d 26	. . 3 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) ) -> ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
108	9, 15, 21, 27, 76, 107	fzind2 9248	. 2 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) ) ) )
109	3, 108	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   1c1 6982   + caddc 6984   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619   ...cfz 9029  ..^cfzo 9152   seqcseq 9431

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-fz 9030  df-fzo 9153  df-iseq 9432

This theorem is referenced by:  iseqcaopr2  9461