Theorem mptfvex 5277

Description: Sufficient condition for a maps-to notation to be set-like. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvmpt2.1	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
mptfvex	|- ( ( A. x B e. V /\ C e. W ) -> ( F ` C ) e. _V )

Distinct variable groups:   x, A   x, C

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)   V( x)   W( x)

Proof of Theorem mptfvex

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1 2911	. . 3 |- ( y = C -> [_ y / x ]_ B = [_ C / x ]_ B )
2		fvmpt2.1	. . . 4 |- F = ( x e. A |-> B )
3		nfcv 2219	. . . . 5 |- F/_ y B
4		nfcsb1v 2938	. . . . 5 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
5		csbeq1a 2916	. . . . 5 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
6	3, 4, 5	cbvmpt 3872	. . . 4 |- ( x e. A |-> B ) = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B )
7	2, 6	eqtri 2101	. . 3 |- F = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B )
8	1, 7	fvmptss2 5268	. 2 |- ( F ` C ) C_ [_ C / x ]_ B
9		elex 2610	. . . . . 6 |- ( B e. V -> B e. _V )
10	9	alimi 1384	. . . . 5 |- ( A. x B e. V -> A. x B e. _V )
11	3	nfel1 2229	. . . . . 6 |- F/ y B e. _V
12	4	nfel1 2229	. . . . . 6 |- F/ x [_ y / x ]_ B e. _V
13	5	eleq1d 2147	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( B e. _V <-> [_ y / x ]_ B e. _V ) )
14	11, 12, 13	cbval 1677	. . . . 5 |- ( A. x B e. _V <-> A. y [_ y / x ]_ B e. _V )
15	10, 14	sylib 120	. . . 4 |- ( A. x B e. V -> A. y [_ y / x ]_ B e. _V )
16	1	eleq1d 2147	. . . . 5 |- ( y = C -> ( [_ y / x ]_ B e. _V <-> [_ C / x ]_ B e. _V ) )
17	16	spcgv 2685	. . . 4 |- ( C e. W -> ( A. y [_ y / x ]_ B e. _V -> [_ C / x ]_ B e. _V ) )
18	15, 17	syl5 32	. . 3 |- ( C e. W -> ( A. x B e. V -> [_ C / x ]_ B e. _V ) )
19	18	impcom 123	. 2 |- ( ( A. x B e. V /\ C e. W ) -> [_ C / x ]_ B e. _V )
20		ssexg 3917	. 2 |- ( ( ( F ` C ) C_ [_ C / x ]_ B /\ [_ C / x ]_ B e. _V ) -> ( F ` C ) e. _V )
21	8, 19, 20	sylancr 405	1 |- ( ( A. x B e. V /\ C e. W ) -> ( F ` C ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   A.wal 1282   = wceq 1284   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   [_csb 2908   C_ wss 2973   |-> cmpt 3839   ` cfv 4922

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930

This theorem is referenced by:  mpt2fvex  5849  xpcomco  6323