Theorem nnawordex 6124

Description: Equivalence for weak ordering of natural numbers. (Contributed by NM, 8-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnawordex	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> E. x e. om ( A +o x ) = B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem nnawordex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntri3or 6095	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
2	1	3adant3 958	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
3		nnaordex 6123	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B <-> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
4		simpr 108	. . . . . . . 8 |- ( ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) -> ( A +o x ) = B )
5	4	reximi 2458	. . . . . . 7 |- ( E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) -> E. x e. om ( A +o x ) = B )
6	3, 5	syl6bi 161	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B -> E. x e. om ( A +o x ) = B ) )
7	6	3adant3 958	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> ( A e. B -> E. x e. om ( A +o x ) = B ) )
8		nna0 6076	. . . . . . . 8 |- ( A e. om -> ( A +o (/) ) = A )
9	8	3ad2ant1 959	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> ( A +o (/) ) = A )
10		eqeq2 2090	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( ( A +o (/) ) = A <-> ( A +o (/) ) = B ) )
11	9, 10	syl5ibcom 153	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> ( A = B -> ( A +o (/) ) = B ) )
12		peano1 4335	. . . . . . 7 |- (/) e. om
13		oveq2 5540	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( A +o x ) = ( A +o (/) ) )
14	13	eqeq1d 2089	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( ( A +o x ) = B <-> ( A +o (/) ) = B ) )
15	14	rspcev 2701	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. om /\ ( A +o (/) ) = B ) -> E. x e. om ( A +o x ) = B )
16	12, 15	mpan 414	. . . . . 6 |- ( ( A +o (/) ) = B -> E. x e. om ( A +o x ) = B )
17	11, 16	syl6 33	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> ( A = B -> E. x e. om ( A +o x ) = B ) )
18		nntri1 6097	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )
19	18	biimp3a 1276	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> -. B e. A )
20	19	pm2.21d 581	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> ( B e. A -> E. x e. om ( A +o x ) = B ) )
21	7, 17, 20	3jaod 1235	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> E. x e. om ( A +o x ) = B ) )
22	2, 21	mpd 13	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> E. x e. om ( A +o x ) = B )
23	22	3expia 1140	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B -> E. x e. om ( A +o x ) = B ) )
24		nnaword1 6109	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> A C_ ( A +o x ) )
25		sseq2 3021	. . . . 5 |- ( ( A +o x ) = B -> ( A C_ ( A +o x ) <-> A C_ B ) )
26	24, 25	syl5ibcom 153	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> ( ( A +o x ) = B -> A C_ B ) )
27	26	rexlimdva 2477	. . 3 |- ( A e. om -> ( E. x e. om ( A +o x ) = B -> A C_ B ) )
28	27	adantr 270	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( E. x e. om ( A +o x ) = B -> A C_ B ) )
29	23, 28	impbid 127	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> E. x e. om ( A +o x ) = B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ w3o 918   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   E.wrex 2349   C_ wss 2973   (/)c0 3251   omcom 4331  (class class class)co 5532   +o coa 6021

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-1o 6024  df-oadd 6028

This theorem is referenced by:  prarloclemn  6689