Theorem nnmordi 6112

Description: Ordering property of multiplication. Half of Proposition 8.19 of [TakeutiZaring] p. 63, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 18-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnmordi	|- ( ( ( B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )

Proof of Theorem nnmordi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn 4346	. . . . . 6 |- ( ( A e. B /\ B e. om ) -> A e. om )
2	1	expcom 114	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( A e. B -> A e. om ) )
3		eleq2 2142	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = B -> ( A e. x <-> A e. B ) )
4		oveq2 5540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = B -> ( C .o x ) = ( C .o B ) )
5	4	eleq2d 2148	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = B -> ( ( C .o A ) e. ( C .o x ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
6	3, 5	imbi12d 232	. . . . . . . . . 10 |- ( x = B -> ( ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) <-> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
7	6	imbi2d 228	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) ) <-> ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) )
8		eleq2 2142	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( A e. x <-> A e. (/) ) )
9		oveq2 5540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> ( C .o x ) = ( C .o (/) ) )
10	9	eleq2d 2148	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o x ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o (/) ) ) )
11	8, 10	imbi12d 232	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) <-> ( A e. (/) -> ( C .o A ) e. ( C .o (/) ) ) ) )
12		eleq2 2142	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( A e. x <-> A e. y ) )
13		oveq2 5540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( C .o x ) = ( C .o y ) )
14	13	eleq2d 2148	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( C .o A ) e. ( C .o x ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) )
15	12, 14	imbi12d 232	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) <-> ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) )
16		eleq2 2142	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc y -> ( A e. x <-> A e. suc y ) )
17		oveq2 5540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = suc y -> ( C .o x ) = ( C .o suc y ) )
18	17	eleq2d 2148	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc y -> ( ( C .o A ) e. ( C .o x ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) )
19	16, 18	imbi12d 232	. . . . . . . . . 10 |- ( x = suc y -> ( ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) <-> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) )
20		noel 3255	. . . . . . . . . . . 12 |- -. A e. (/)
21	20	pm2.21i 607	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. (/) -> ( C .o A ) e. ( C .o (/) ) )
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. (/) -> ( C .o A ) e. ( C .o (/) ) ) )
23		elsuci 4158	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. suc y -> ( A e. y \/ A = y ) )
24		nnmcl 6083	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C e. om /\ y e. om ) -> ( C .o y ) e. om )
25		simpl 107	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C e. om /\ y e. om ) -> C e. om )
26	24, 25	jca 300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C e. om /\ y e. om ) -> ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) )
27		nnaword1 6109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) -> ( C .o y ) C_ ( ( C .o y ) +o C ) )
28	27	sseld 2998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o y ) -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
29	28	imim2d 53	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) ) )
30	29	imp 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) -> ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
31	30	adantrl 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
32		nna0 6076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( C .o y ) e. om -> ( ( C .o y ) +o (/) ) = ( C .o y ) )
33	32	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( C .o y ) +o (/) ) = ( C .o y ) )
34		nnaordi 6104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( C e. om /\ ( C .o y ) e. om ) -> ( (/) e. C -> ( ( C .o y ) +o (/) ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
35	34	ancoms 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) -> ( (/) e. C -> ( ( C .o y ) +o (/) ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
36	35	imp 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( C .o y ) +o (/) ) e. ( ( C .o y ) +o C ) )
37	33, 36	eqeltrrd 2156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o y ) e. ( ( C .o y ) +o C ) )
38		oveq2 5540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A = y -> ( C .o A ) = ( C .o y ) )
39	38	eleq1d 2147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A = y -> ( ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) <-> ( C .o y ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
40	37, 39	syl5ibrcom 155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A = y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
41	40	adantrr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( A = y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
42	31, 41	jaod 669	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( ( A e. y \/ A = y ) -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
43	26, 42	sylan 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( C e. om /\ y e. om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( ( A e. y \/ A = y ) -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
44	23, 43	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( C e. om /\ y e. om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
45		nnmsuc 6079	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C e. om /\ y e. om ) -> ( C .o suc y ) = ( ( C .o y ) +o C ) )
46	45	eleq2d 2148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( C e. om /\ y e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) <-> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
47	46	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( C e. om /\ y e. om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) <-> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
48	44, 47	sylibrd 167	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( C e. om /\ y e. om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) )
49	48	exp43 364	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. om -> ( y e. om -> ( (/) e. C -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) ) ) )
50	49	com12 30	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> ( C e. om -> ( (/) e. C -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) ) ) )
51	50	adantld 272	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( ( A e. om /\ C e. om ) -> ( (/) e. C -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) ) ) )
52	51	impd 251	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) ) )
53	11, 15, 19, 22, 52	finds2 4342	. . . . . . . . 9 |- ( x e. om -> ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) ) )
54	7, 53	vtoclga 2664	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
55	54	com23 77	. . . . . . 7 |- ( B e. om -> ( A e. B -> ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
56	55	exp4a 358	. . . . . 6 |- ( B e. om -> ( A e. B -> ( ( A e. om /\ C e. om ) -> ( (/) e. C -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) )
57	56	exp4a 358	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( A e. B -> ( A e. om -> ( C e. om -> ( (/) e. C -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) ) )
58	2, 57	mpdd 40	. . . 4 |- ( B e. om -> ( A e. B -> ( C e. om -> ( (/) e. C -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) )
59	58	com34 82	. . 3 |- ( B e. om -> ( A e. B -> ( (/) e. C -> ( C e. om -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) )
60	59	com24 86	. 2 |- ( B e. om -> ( C e. om -> ( (/) e. C -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) )
61	60	imp31 252	1 |- ( ( ( B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 661   = wceq 1284   e. wcel 1433   (/)c0 3251   suc csuc 4120   omcom 4331  (class class class)co 5532   +o coa 6021   .o comu 6022

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-oadd 6028  df-omul 6029

This theorem is referenced by:  nnmord  6113  nnm00  6125  mulclpi  6518