Theorem npsspw 6661

Description: Lemma for proving existence of reals. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
npsspw	|- P. C_ ( ~P Q. X. ~P Q. )

Proof of Theorem npsspw

Dummy variables u l q r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 495	. . . 4 |- ( ( ( ( l C_ Q. /\ u C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. l /\ E. r e. Q. r e. u ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. l <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. l ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. u <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. u ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. l /\ q e. u ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. l \/ r e. u ) ) ) ) -> ( l C_ Q. /\ u C_ Q. ) )
2		selpw 3389	. . . . 5 |- ( l e. ~P Q. <-> l C_ Q. )
3		selpw 3389	. . . . 5 |- ( u e. ~P Q. <-> u C_ Q. )
4	2, 3	anbi12i 447	. . . 4 |- ( ( l e. ~P Q. /\ u e. ~P Q. ) <-> ( l C_ Q. /\ u C_ Q. ) )
5	1, 4	sylibr 132	. . 3 |- ( ( ( ( l C_ Q. /\ u C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. l /\ E. r e. Q. r e. u ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. l <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. l ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. u <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. u ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. l /\ q e. u ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. l \/ r e. u ) ) ) ) -> ( l e. ~P Q. /\ u e. ~P Q. ) )
6	5	ssopab2i 4032	. 2 |- { <. l , u >. | ( ( ( l C_ Q. /\ u C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. l /\ E. r e. Q. r e. u ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. l <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. l ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. u <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. u ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. l /\ q e. u ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. l \/ r e. u ) ) ) ) } C_ { <. l , u >. | ( l e. ~P Q. /\ u e. ~P Q. ) }
7		df-inp 6656	. 2 |- P. = { <. l , u >. | ( ( ( l C_ Q. /\ u C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. l /\ E. r e. Q. r e. u ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. l <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. l ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. u <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. u ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. l /\ q e. u ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. l \/ r e. u ) ) ) ) }
8		df-xp 4369	. 2 |- ( ~P Q. X. ~P Q. ) = { <. l , u >. | ( l e. ~P Q. /\ u e. ~P Q. ) }
9	6, 7, 8	3sstr4i 3038	1 |- P. C_ ( ~P Q. X. ~P Q. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 661   /\ w3a 919   e. wcel 1433   A.wral 2348   E.wrex 2349   C_ wss 2973   ~Pcpw 3382   class class class wbr 3785   {copab 3838   X. cxp 4361   Q.cnq 6470   <Q cltq 6475   P.cnp 6481

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-opab 3840  df-xp 4369  df-inp 6656

This theorem is referenced by:  preqlu  6662  npex  6663  elinp  6664  prop  6665  elnp1st2nd  6666  cauappcvgprlemladd  6848