Theorem prop 6665

Description: A positive real is an ordered pair of a lower cut and an upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prop	|- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )

Proof of Theorem prop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		npsspw 6661	. . . 4 |- P. C_ ( ~P Q. X. ~P Q. )
2	1	sseli 2995	. . 3 |- ( A e. P. -> A e. ( ~P Q. X. ~P Q. ) )
3		1st2nd2 5821	. . 3 |- ( A e. ( ~P Q. X. ~P Q. ) -> A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( A e. P. -> A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. )
5		eleq1 2141	. . 3 |- ( A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. -> ( A e. P. <-> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. ) )
6	5	biimpcd 157	. 2 |- ( A e. P. -> ( A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. ) )
7	4, 6	mpd 13	1 |- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1284   e. wcel 1433   ~Pcpw 3382   <.cop 3401   X. cxp 4361   ` cfv 4922   1stc1st 5785   2ndc2nd 5786   Q.cnq 6470   P.cnp 6481

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-sbc 2816  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-inp 6656

This theorem is referenced by:  elnp1st2nd  6666  0npr  6673  genpdf  6698  genipv  6699  genpelvl  6702  genpelvu  6703  genpml  6707  genpmu  6708  genprndl  6711  genprndu  6712  genpdisj  6713  genpassl  6714  genpassu  6715  addnqprl  6719  addnqpru  6720  addlocprlemeqgt  6722  addlocprlemgt  6724  addlocprlem  6725  addlocpr  6726  nqprl  6741  nqpru  6742  addnqprlemfl  6749  addnqprlemfu  6750  mulnqprl  6758  mulnqpru  6759  mullocprlem  6760  mullocpr  6761  mulnqprlemfl  6765  mulnqprlemfu  6766  addcomprg  6768  mulcomprg  6770  distrlem1prl  6772  distrlem1pru  6773  distrlem4prl  6774  distrlem4pru  6775  ltprordil  6779  1idprl  6780  1idpru  6781  ltpopr  6785  ltsopr  6786  ltaddpr  6787  ltexprlemm  6790  ltexprlemopl  6791  ltexprlemlol  6792  ltexprlemopu  6793  ltexprlemupu  6794  ltexprlemdisj  6796  ltexprlemloc  6797  ltexprlemfl  6799  ltexprlemrl  6800  ltexprlemfu  6801  ltexprlemru  6802  addcanprleml  6804  addcanprlemu  6805  prplnqu  6810  recexprlemm  6814  recexprlemdisj  6820  recexprlemloc  6821  recexprlem1ssl  6823  recexprlem1ssu  6824  recexprlemss1l  6825  recexprlemss1u  6826  aptiprleml  6829  aptiprlemu  6830  archpr  6833  cauappcvgprlemladdru  6846  cauappcvgprlemladdrl  6847  archrecpr  6854  caucvgprlemladdrl  6868  caucvgprprlemml  6884  caucvgprprlemmu  6885  caucvgprprlemopl  6887