Theorem relopabi 4481

Description: A class of ordered pairs is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
relopabi.1	|- A = { <. x , y >. | ph }

Assertion

Ref	Expression
relopabi	|- Rel A

Proof of Theorem relopabi

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopabi.1	. . . 4 |- A = { <. x , y >. | ph }
2		df-opab 3840	. . . 4 |- { <. x , y >. | ph } = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) }
3	1, 2	eqtri 2101	. . 3 |- A = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) }
4		vex 2604	. . . . . . . 8 |- x e. _V
5		vex 2604	. . . . . . . 8 |- y e. _V
6	4, 5	opelvv 4408	. . . . . . 7 |- <. x , y >. e. ( _V X. _V )
7		eleq1 2141	. . . . . . 7 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. ( _V X. _V ) <-> <. x , y >. e. ( _V X. _V ) ) )
8	6, 7	mpbiri 166	. . . . . 6 |- ( z = <. x , y >. -> z e. ( _V X. _V ) )
9	8	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( z = <. x , y >. /\ ph ) -> z e. ( _V X. _V ) )
10	9	exlimivv 1817	. . . 4 |- ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) -> z e. ( _V X. _V ) )
11	10	abssi 3069	. . 3 |- { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) } C_ ( _V X. _V )
12	3, 11	eqsstri 3029	. 2 |- A C_ ( _V X. _V )
13		df-rel 4370	. 2 |- ( Rel A <-> A C_ ( _V X. _V ) )
14	12, 13	mpbir 144	1 |- Rel A

Syntax hints:   /\ wa 102   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   {cab 2067   _Vcvv 2601   C_ wss 2973   <.cop 3401   {copab 3838   X. cxp 4361   Rel wrel 4368

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-opab 3840  df-xp 4369  df-rel 4370

This theorem is referenced by:  relopab  4482  reli  4483  rele  4484  relcnv  4723  cotr  4726  relco  4839  reloprab  5573  reldmoprab  5609  eqer  6161  ecopover  6227  ecopoverg  6230  relen  6248  reldom  6249  enq0er  6625  climrel  10119