Theorem snnex 4199

Description: The class of all singletons is a proper class. (Contributed by NM, 10-Oct-2008.) (Proof shortened by Eric Schmidt, 7-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
snnex	|- { x | E. y x = { y } } e/ _V

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem snnex

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vprc 3909	. . . 4 |- -. _V e. _V
2		vsnid 3426	. . . . . . . . 9 |- z e. { z }
3		a9ev 1627	. . . . . . . . . 10 |- E. y y = z
4		sneq 3409	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> { z } = { y } )
5	4	equcoms 1634	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> { z } = { y } )
6	3, 5	eximii 1533	. . . . . . . . 9 |- E. y { z } = { y }
7		vex 2604	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
8	7	snex 3957	. . . . . . . . . 10 |- { z } e. _V
9		eleq2 2142	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = { z } -> ( z e. x <-> z e. { z } ) )
10		eqeq1 2087	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = { z } -> ( x = { y } <-> { z } = { y } ) )
11	10	exbidv 1746	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = { z } -> ( E. y x = { y } <-> E. y { z } = { y } ) )
12	9, 11	anbi12d 456	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { z } -> ( ( z e. x /\ E. y x = { y } ) <-> ( z e. { z } /\ E. y { z } = { y } ) ) )
13	8, 12	spcev 2692	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. { z } /\ E. y { z } = { y } ) -> E. x ( z e. x /\ E. y x = { y } ) )
14	2, 6, 13	mp2an 416	. . . . . . . 8 |- E. x ( z e. x /\ E. y x = { y } )
15		eluniab 3613	. . . . . . . 8 |- ( z e. U. { x | E. y x = { y } } <-> E. x ( z e. x /\ E. y x = { y } ) )
16	14, 15	mpbir 144	. . . . . . 7 |- z e. U. { x | E. y x = { y } }
17	16, 7	2th 172	. . . . . 6 |- ( z e. U. { x | E. y x = { y } } <-> z e. _V )
18	17	eqriv 2078	. . . . 5 |- U. { x | E. y x = { y } } = _V
19	18	eleq1i 2144	. . . 4 |- ( U. { x | E. y x = { y } } e. _V <-> _V e. _V )
20	1, 19	mtbir 628	. . 3 |- -. U. { x | E. y x = { y } } e. _V
21		uniexg 4193	. . 3 |- ( { x | E. y x = { y } } e. _V -> U. { x | E. y x = { y } } e. _V )
22	20, 21	mto 620	. 2 |- -. { x | E. y x = { y } } e. _V
23	22	nelir 2342	1 |- { x | E. y x = { y } } e/ _V

Syntax hints:   /\ wa 102   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   {cab 2067   e/ wnel 2339   _Vcvv 2601   {csn 3398   U.cuni 3601

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-nel 2340  df-rex 2354  df-v 2603  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-uni 3602

This theorem is referenced by:  fiprc  6315