Theorem tfrlemiex 5968

Description: Lemma for tfrlemi1 5969. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2019.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrlemisucfn.1	|- A = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
tfrlemisucfn.2	|- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
tfrlemi1.3	|- B = { h | E. z e. x E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) }
tfrlemi1.4	|- ( ph -> x e. On )
tfrlemi1.5	|- ( ph -> A. z e. x E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
tfrlemiex	|- ( ph -> E. f ( f Fn x /\ A. u e. x ( f ` u ) = ( F ` ( f |` u ) ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, h, u, w, x, y, z, A   f, F, g, h, u, w, x, y, z   ph, w, y   u, B, w, f, g, h, z   ph, g, h, z

Allowed substitution hints:   ph( x, u, f)   B( x, y)

Proof of Theorem tfrlemiex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrlemisucfn.1	. . . 4 |- A = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
2		tfrlemisucfn.2	. . . 4 |- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
3		tfrlemi1.3	. . . 4 |- B = { h | E. z e. x E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) }
4		tfrlemi1.4	. . . 4 |- ( ph -> x e. On )
5		tfrlemi1.5	. . . 4 |- ( ph -> A. z e. x E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	tfrlemibex 5966	. . 3 |- ( ph -> B e. _V )
7		uniexg 4193	. . 3 |- ( B e. _V -> U. B e. _V )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ph -> U. B e. _V )
9	1, 2, 3, 4, 5	tfrlemibfn 5965	. . 3 |- ( ph -> U. B Fn x )
10	1, 2, 3, 4, 5	tfrlemiubacc 5967	. . 3 |- ( ph -> A. u e. x ( U. B ` u ) = ( F ` ( U. B |` u ) ) )
11	9, 10	jca 300	. 2 |- ( ph -> ( U. B Fn x /\ A. u e. x ( U. B ` u ) = ( F ` ( U. B |` u ) ) ) )
12		fneq1 5007	. . . 4 |- ( f = U. B -> ( f Fn x <-> U. B Fn x ) )
13		fveq1 5197	. . . . . 6 |- ( f = U. B -> ( f ` u ) = ( U. B ` u ) )
14		reseq1 4624	. . . . . . 7 |- ( f = U. B -> ( f |` u ) = ( U. B |` u ) )
15	14	fveq2d 5202	. . . . . 6 |- ( f = U. B -> ( F ` ( f |` u ) ) = ( F ` ( U. B |` u ) ) )
16	13, 15	eqeq12d 2095	. . . . 5 |- ( f = U. B -> ( ( f ` u ) = ( F ` ( f |` u ) ) <-> ( U. B ` u ) = ( F ` ( U. B |` u ) ) ) )
17	16	ralbidv 2368	. . . 4 |- ( f = U. B -> ( A. u e. x ( f ` u ) = ( F ` ( f |` u ) ) <-> A. u e. x ( U. B ` u ) = ( F ` ( U. B |` u ) ) ) )
18	12, 17	anbi12d 456	. . 3 |- ( f = U. B -> ( ( f Fn x /\ A. u e. x ( f ` u ) = ( F ` ( f |` u ) ) ) <-> ( U. B Fn x /\ A. u e. x ( U. B ` u ) = ( F ` ( U. B |` u ) ) ) ) )
19	18	spcegv 2686	. 2 |- ( U. B e. _V -> ( ( U. B Fn x /\ A. u e. x ( U. B ` u ) = ( F ` ( U. B |` u ) ) ) -> E. f ( f Fn x /\ A. u e. x ( f ` u ) = ( F ` ( f |` u ) ) ) ) )
20	8, 11, 19	sylc 61	1 |- ( ph -> E. f ( f Fn x /\ A. u e. x ( f ` u ) = ( F ` ( f |` u ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   /\ w3a 919   A.wal 1282   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   {cab 2067   A.wral 2348   E.wrex 2349   _Vcvv 2601   u. cun 2971   {csn 3398   <.cop 3401   U.cuni 3601   Oncon0 4118   |` cres 4365   Fun wfun 4916   Fn wfn 4917   ` cfv 4922

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-recs 5943

This theorem is referenced by:  tfrlemi1  5969