Theorem unsnfi 6384

Description: Adding a singleton to a finite set yields a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
unsnfi	|- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) -> ( A u. { B } ) e. Fin )

Proof of Theorem unsnfi

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6264	. . . 4 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
2	1	biimpi 118	. . 3 |- ( A e. Fin -> E. n e. om A ~~ n )
3	2	3ad2ant1 959	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) -> E. n e. om A ~~ n )
4		peano2 4336	. . . . 5 |- ( n e. om -> suc n e. om )
5	4	ad2antrl 473	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> suc n e. om )
6		simprr 498	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> A ~~ n )
7		simpl2 942	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> B e. V )
8		simprl 497	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> n e. om )
9		en2sn 6313	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ n e. om ) -> { B } ~~ { n } )
10	7, 8, 9	syl2anc 403	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> { B } ~~ { n } )
11		disjsn 3454	. . . . . . . . 9 |- ( ( A i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. A )
12	11	biimpri 131	. . . . . . . 8 |- ( -. B e. A -> ( A i^i { B } ) = (/) )
13	12	3ad2ant3 961	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) -> ( A i^i { B } ) = (/) )
14	13	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( A i^i { B } ) = (/) )
15		nnord 4352	. . . . . . . . 9 |- ( n e. om -> Ord n )
16		ordirr 4285	. . . . . . . . 9 |- ( Ord n -> -. n e. n )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( n e. om -> -. n e. n )
18		disjsn 3454	. . . . . . . 8 |- ( ( n i^i { n } ) = (/) <-> -. n e. n )
19	17, 18	sylibr 132	. . . . . . 7 |- ( n e. om -> ( n i^i { n } ) = (/) )
20	19	ad2antrl 473	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( n i^i { n } ) = (/) )
21		unen 6316	. . . . . 6 |- ( ( ( A ~~ n /\ { B } ~~ { n } ) /\ ( ( A i^i { B } ) = (/) /\ ( n i^i { n } ) = (/) ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ ( n u. { n } ) )
22	6, 10, 14, 20, 21	syl22anc 1170	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ ( n u. { n } ) )
23		df-suc 4126	. . . . 5 |- suc n = ( n u. { n } )
24	22, 23	syl6breqr 3825	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ suc n )
25		breq2 3789	. . . . 5 |- ( m = suc n -> ( ( A u. { B } ) ~~ m <-> ( A u. { B } ) ~~ suc n ) )
26	25	rspcev 2701	. . . 4 |- ( ( suc n e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ suc n ) -> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
27	5, 24, 26	syl2anc 403	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
28		isfi 6264	. . 3 |- ( ( A u. { B } ) e. Fin <-> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
29	27, 28	sylibr 132	. 2 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( A u. { B } ) e. Fin )
30	3, 29	rexlimddv 2481	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) -> ( A u. { B } ) e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   E.wrex 2349   u. cun 2971   i^i cin 2972   (/)c0 3251   {csn 3398   class class class wbr 3785   Ord word 4117   suc csuc 4120   omcom 4331   ~~ cen 6242   Fincfn 6244

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-1o 6024  df-er 6129  df-en 6245  df-fin 6247

This theorem is referenced by:  fnfi  6388