Theorem zsupcllemex 10342

Description: Lemma for zsupcl 10343. Existence of the supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
zsupcllemex.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
zsupcllemex.sbm	|- ( n = M -> ( ps <-> ch ) )
zsupcllemex.mtru	|- ( ph -> ch )
zsupcllemex.dc	|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID ps )
zsupcllemex.bnd	|- ( ph -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps )

Assertion

Ref	Expression
zsupcllemex	|- ( ph -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )

Distinct variable groups:   n, M, y   ch, n   j, n, ph, y   ps, j, x, z, y   x, n, z

Allowed substitution hints:   ph( x, z)   ps( n)   ch( x, y, z, j)   M( x, z, j)

Proof of Theorem zsupcllemex

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsupcllemex.bnd	. 2 |- ( ph -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps )
2		simpl 107	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) ) -> ph )
3		simprr 498	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) ) -> A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps )
4		fveq2 5198	. . . . . . . 8 |- ( w = M -> ( ZZ>= ` w ) = ( ZZ>= ` M ) )
5	4	raleqdv 2555	. . . . . . 7 |- ( w = M -> ( A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps <-> A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps ) )
6	5	anbi2d 451	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) <-> ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps ) ) )
7	6	imbi1d 229	. . . . 5 |- ( w = M -> ( ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) <-> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) )
8		fveq2 5198	. . . . . . . 8 |- ( w = k -> ( ZZ>= ` w ) = ( ZZ>= ` k ) )
9	8	raleqdv 2555	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps <-> A. n e. ( ZZ>= ` k ) -. ps ) )
10	9	anbi2d 451	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) <-> ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` k ) -. ps ) ) )
11	10	imbi1d 229	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) <-> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` k ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) )
12		fveq2 5198	. . . . . . . 8 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ZZ>= ` w ) = ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) )
13	12	raleqdv 2555	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps <-> A. n e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) -. ps ) )
14	13	anbi2d 451	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) <-> ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) -. ps ) ) )
15	14	imbi1d 229	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) <-> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) )
16		fveq2 5198	. . . . . . . 8 |- ( w = j -> ( ZZ>= ` w ) = ( ZZ>= ` j ) )
17	16	raleqdv 2555	. . . . . . 7 |- ( w = j -> ( A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps <-> A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) )
18	17	anbi2d 451	. . . . . 6 |- ( w = j -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) <-> ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) ) )
19	18	imbi1d 229	. . . . 5 |- ( w = j -> ( ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) <-> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) )
20		zsupcllemex.mtru	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ch )
21	20	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps ) -> ch )
22		zsupcllemex.m	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
23		uzid 8633	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
24		zsupcllemex.sbm	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = M -> ( ps <-> ch ) )
25	24	notbid 624	. . . . . . . . . 10 |- ( n = M -> ( -. ps <-> -. ch ) )
26	25	rspcv 2697	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps -> -. ch ) )
27	22, 23, 26	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps -> -. ch ) )
28	27	imp 122	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps ) -> -. ch )
29	21, 28	pm2.21dd 582	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
30	29	a1i 9	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) )
31		zsupcllemex.dc	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID ps )
32	31	zsupcllemstep 10341	. . . . 5 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` k ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) )
33	7, 11, 15, 19, 30, 32	uzind4 8676	. . . 4 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) )
34	33	ad2antrl 473	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) ) -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) )
35	2, 3, 34	mp2and 423	. 2 |- ( ( ph /\ ( j e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
36	1, 35	rexlimddv 2481	1 |- ( ph -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103  DECID wdc 775   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   E.wrex 2349   {crab 2352   class class class wbr 3785   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   RRcr 6980   1c1 6982   + caddc 6984   < clt 7153   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-fz 9030  df-fzo 9153

This theorem is referenced by:  zsupcl  10343  infssuzex  10345  gcdsupex  10349