Theorem infssuzex 10345

Description: Existence of the infimum of a subset of an upper set of integers. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
infssuzledc.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
infssuzledc.s	|- S = { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps }
infssuzledc.a	|- ( ph -> A e. S )
infssuzledc.dc	|- ( ( ph /\ n e. ( M ... A ) ) -> DECID ps )

Assertion

Ref	Expression
infssuzex	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. S -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. S z < y ) ) )

Distinct variable groups:   y, A   A, n   n, M   x, S, y, z   ph, n   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   ps( x, y, z, n)   A( x, z)   S( n)   M( x, y, z)

Proof of Theorem infssuzex

Dummy variables j m a w b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssre 8358	. . . 4 |- ZZ C_ RR
2		infssuzledc.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. S )
3		infssuzledc.s	. . . . . . . . . . 11 |- S = { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps }
4	3	eleq2i 2145	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. S <-> A e. { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps } )
5	2, 4	sylib 120	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps } )
6		elrabi 2746	. . . . . . . . 9 |- ( A e. { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps } -> A e. ( ZZ>= ` M ) )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. ( ZZ>= ` M ) )
8		eluzelz 8628	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( ZZ>= ` M ) -> A e. ZZ )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. ZZ )
10	9	znegcld 8471	. . . . . 6 |- ( ph -> -u A e. ZZ )
11		negeq 7301	. . . . . . 7 |- ( m = -u A -> -u m = -u -u A )
12	11	eleq1d 2147	. . . . . 6 |- ( m = -u A -> ( -u m e. S <-> -u -u A e. S ) )
13	9	zcnd 8470	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. CC )
14	13	negnegd 7410	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u -u A = A )
15	14, 2	eqeltrd 2155	. . . . . 6 |- ( ph -> -u -u A e. S )
16		simpr 108	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ M <_ -u m ) -> M <_ -u m )
17	9	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) -> A e. ZZ )
18	17	zred 8469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) -> A e. RR )
19		eluzelz 8628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( ZZ>= ` -u A ) -> m e. ZZ )
20	19	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) -> m e. ZZ )
21	20	zred 8469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) -> m e. RR )
22		eluzle 8631	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( ZZ>= ` -u A ) -> -u A <_ m )
23	22	adantl 271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) -> -u A <_ m )
24	18, 21, 23	lenegcon1d 7627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) -> -u m <_ A )
25	24	adantr 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ M <_ -u m ) -> -u m <_ A )
26	16, 25	jca 300	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ M <_ -u m ) -> ( M <_ -u m /\ -u m <_ A ) )
27	20	znegcld 8471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) -> -u m e. ZZ )
28	27	adantr 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ M <_ -u m ) -> -u m e. ZZ )
29		infssuzledc.m	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ZZ )
30	29	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ M <_ -u m ) -> M e. ZZ )
31	9	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ M <_ -u m ) -> A e. ZZ )
32		elfz 9035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u m e. ZZ /\ M e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( -u m e. ( M ... A ) <-> ( M <_ -u m /\ -u m <_ A ) ) )
33	28, 30, 31, 32	syl3anc 1169	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ M <_ -u m ) -> ( -u m e. ( M ... A ) <-> ( M <_ -u m /\ -u m <_ A ) ) )
34	26, 33	mpbird 165	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ M <_ -u m ) -> -u m e. ( M ... A ) )
35		infssuzledc.dc	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... A ) ) -> DECID ps )
36	35	ralrimiva 2434	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. n e. ( M ... A )DECID ps )
37	36	ad2antrr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ M <_ -u m ) -> A. n e. ( M ... A )DECID ps )
38		nfsbc1v 2833	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n [. -u m / n ]. ps
39	38	nfdc 1589	. . . . . . . . . 10 |- F/ nDECID [. -u m / n ]. ps
40		sbceq1a 2824	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = -u m -> ( ps <-> [. -u m / n ]. ps ) )
41	40	dcbid 781	. . . . . . . . . 10 |- ( n = -u m -> (DECID ps <-> DECID [. -u m / n ]. ps ) )
42	39, 41	rspc 2695	. . . . . . . . 9 |- ( -u m e. ( M ... A ) -> ( A. n e. ( M ... A )DECID ps -> DECID [. -u m / n ]. ps ) )
43	34, 37, 42	sylc 61	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ M <_ -u m ) -> DECID [. -u m / n ]. ps )
44	3	eleq2i 2145	. . . . . . . . . 10 |- ( -u m e. S <-> -u m e. { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps } )
45		elfzuz 9041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u m e. ( M ... A ) -> -u m e. ( ZZ>= ` M ) )
46	34, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ M <_ -u m ) -> -u m e. ( ZZ>= ` M ) )
47	46	biantrurd 299	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ M <_ -u m ) -> ( [. -u m / n ]. ps <-> ( -u m e. ( ZZ>= ` M ) /\ [. -u m / n ]. ps ) ) )
48		nfcv 2219	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n ( ZZ>= ` M )
49	48	elrabsf 2852	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u m e. { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps } <-> ( -u m e. ( ZZ>= ` M ) /\ [. -u m / n ]. ps ) )
50	47, 49	syl6rbbr 197	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ M <_ -u m ) -> ( -u m e. { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps } <-> [. -u m / n ]. ps ) )
51	44, 50	syl5bb 190	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ M <_ -u m ) -> ( -u m e. S <-> [. -u m / n ]. ps ) )
52	51	dcbid 781	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ M <_ -u m ) -> (DECID -u m e. S <-> DECID [. -u m / n ]. ps ) )
53	43, 52	mpbird 165	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ M <_ -u m ) -> DECID -u m e. S )
54		simpr 108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ -. M <_ -u m ) -> -. M <_ -u m )
55		elrabi 2746	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u m e. { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps } -> -u m e. ( ZZ>= ` M ) )
56		eluzle 8631	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u m e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ -u m )
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u m e. { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps } -> M <_ -u m )
58	57, 3	eleq2s 2173	. . . . . . . . . 10 |- ( -u m e. S -> M <_ -u m )
59	54, 58	nsyl 590	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ -. M <_ -u m ) -> -. -u m e. S )
60	59	olcd 685	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ -. M <_ -u m ) -> ( -u m e. S \/ -. -u m e. S ) )
61		df-dc 776	. . . . . . . 8 |- (DECID -u m e. S <-> ( -u m e. S \/ -. -u m e. S ) )
62	60, 61	sylibr 132	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) /\ -. M <_ -u m ) -> DECID -u m e. S )
63	29	adantr 270	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) -> M e. ZZ )
64		zdcle 8424	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ -u m e. ZZ ) -> DECID M <_ -u m )
65	63, 27, 64	syl2anc 403	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) -> DECID M <_ -u m )
66		exmiddc 777	. . . . . . . 8 |- (DECID M <_ -u m -> ( M <_ -u m \/ -. M <_ -u m ) )
67	65, 66	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) -> ( M <_ -u m \/ -. M <_ -u m ) )
68	53, 62, 67	mpjaodan 744	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u A ) ) -> DECID -u m e. S )
69		eluzle 8631	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ A )
70	7, 69	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M <_ A )
71	29	zred 8469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
72	9	zred 8469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR )
73	71, 72	lenegd 7624	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M <_ A <-> -u A <_ -u M ) )
74	70, 73	mpbid 145	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u A <_ -u M )
75	29	znegcld 8471	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u M e. ZZ )
76		eluz 8632	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u A e. ZZ /\ -u M e. ZZ ) -> ( -u M e. ( ZZ>= ` -u A ) <-> -u A <_ -u M ) )
77	10, 75, 76	syl2anc 403	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( -u M e. ( ZZ>= ` -u A ) <-> -u A <_ -u M ) )
78	74, 77	mpbird 165	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u M e. ( ZZ>= ` -u A ) )
79		peano2uz 8671	. . . . . . . 8 |- ( -u M e. ( ZZ>= ` -u A ) -> ( -u M + 1 ) e. ( ZZ>= ` -u A ) )
80	78, 79	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -u M + 1 ) e. ( ZZ>= ` -u A ) )
81	71	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) ) /\ -u m e. S ) -> M e. RR )
82	81	renegcld 7484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) ) /\ -u m e. S ) -> -u M e. RR )
83		peano2re 7244	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u M e. RR -> ( -u M + 1 ) e. RR )
84	82, 83	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) ) /\ -u m e. S ) -> ( -u M + 1 ) e. RR )
85		eluzelz 8628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) -> m e. ZZ )
86	85	ad2antlr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) ) /\ -u m e. S ) -> m e. ZZ )
87	86	zred 8469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) ) /\ -u m e. S ) -> m e. RR )
88		eluzle 8631	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) -> ( -u M + 1 ) <_ m )
89	88	ad2antlr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) ) /\ -u m e. S ) -> ( -u M + 1 ) <_ m )
90	55, 3	eleq2s 2173	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -u m e. S -> -u m e. ( ZZ>= ` M ) )
91	90	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ -u m e. S ) -> -u m e. ( ZZ>= ` M ) )
92	91, 56	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -u m e. S ) -> M <_ -u m )
93	92	adantlr 460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) ) /\ -u m e. S ) -> M <_ -u m )
94	81, 87, 93	lenegcon2d 7628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) ) /\ -u m e. S ) -> m <_ -u M )
95	84, 87, 82, 89, 94	letrd 7233	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) ) /\ -u m e. S ) -> ( -u M + 1 ) <_ -u M )
96	75	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) ) /\ -u m e. S ) -> -u M e. ZZ )
97		zltp1le 8405	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u M e. ZZ /\ -u M e. ZZ ) -> ( -u M < -u M <-> ( -u M + 1 ) <_ -u M ) )
98	96, 96, 97	syl2anc 403	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) ) /\ -u m e. S ) -> ( -u M < -u M <-> ( -u M + 1 ) <_ -u M ) )
99	95, 98	mpbird 165	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) ) /\ -u m e. S ) -> -u M < -u M )
100	82	ltnrd 7222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) ) /\ -u m e. S ) -> -. -u M < -u M )
101	99, 100	pm2.65da 619	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) ) -> -. -u m e. S )
102	101	ralrimiva 2434	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) -. -u m e. S )
103		fveq2 5198	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( -u M + 1 ) -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) )
104	103	raleqdv 2555	. . . . . . . 8 |- ( j = ( -u M + 1 ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) -. -u m e. S <-> A. m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) -. -u m e. S ) )
105	104	rspcev 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ( -u M + 1 ) e. ( ZZ>= ` -u A ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` ( -u M + 1 ) ) -. -u m e. S ) -> E. j e. ( ZZ>= ` -u A ) A. m e. ( ZZ>= ` j ) -. -u m e. S )
106	80, 102, 105	syl2anc 403	. . . . . 6 |- ( ph -> E. j e. ( ZZ>= ` -u A ) A. m e. ( ZZ>= ` j ) -. -u m e. S )
107	10, 12, 15, 68, 106	zsupcllemex 10342	. . . . 5 |- ( ph -> E. x e. ZZ ( A. y e. { m e. ZZ | -u m e. S } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { m e. ZZ | -u m e. S } y < z ) ) )
108		zre 8355	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. ZZ -> b e. RR )
109	108	anim1i 333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. ZZ /\ -u b e. S ) -> ( b e. RR /\ -u b e. S ) )
110		elrabi 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -u b e. { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps } -> -u b e. ( ZZ>= ` M ) )
111	110, 3	eleq2s 2173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u b e. S -> -u b e. ( ZZ>= ` M ) )
112		eluzelz 8628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u b e. ( ZZ>= ` M ) -> -u b e. ZZ )
113	111, 112	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -u b e. S -> -u b e. ZZ )
114	113	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. RR /\ -u b e. S ) -> -u b e. ZZ )
115		recn 7106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b e. RR -> b e. CC )
116		znegclb 8384	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b e. CC -> ( b e. ZZ <-> -u b e. ZZ ) )
117	115, 116	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. RR -> ( b e. ZZ <-> -u b e. ZZ ) )
118	117	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. RR /\ -u b e. S ) -> ( b e. ZZ <-> -u b e. ZZ ) )
119	114, 118	mpbird 165	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. RR /\ -u b e. S ) -> b e. ZZ )
120		simpr 108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. RR /\ -u b e. S ) -> -u b e. S )
121	119, 120	jca 300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. RR /\ -u b e. S ) -> ( b e. ZZ /\ -u b e. S ) )
122	109, 121	impbii 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. ZZ /\ -u b e. S ) <-> ( b e. RR /\ -u b e. S ) )
123		negeq 7301	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = b -> -u m = -u b )
124	123	eleq1d 2147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = b -> ( -u m e. S <-> -u b e. S ) )
125	124	elrab 2749	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. { m e. ZZ | -u m e. S } <-> ( b e. ZZ /\ -u b e. S ) )
126	124	elrab 2749	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. { m e. RR | -u m e. S } <-> ( b e. RR /\ -u b e. S ) )
127	122, 125, 126	3bitr4i 210	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. { m e. ZZ | -u m e. S } <-> b e. { m e. RR | -u m e. S } )
128	127	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( b e. { m e. ZZ | -u m e. S } <-> b e. { m e. RR | -u m e. S } ) )
129	128	eqrdv 2079	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { m e. ZZ | -u m e. S } = { m e. RR | -u m e. S } )
130	129	raleqdv 2555	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. y e. { m e. ZZ | -u m e. S } -. x < y <-> A. y e. { m e. RR | -u m e. S } -. x < y ) )
131	129	rexeqdv 2556	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E. z e. { m e. ZZ | -u m e. S } y < z <-> E. z e. { m e. RR | -u m e. S } y < z ) )
132	131	imbi2d 228	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( y < x -> E. z e. { m e. ZZ | -u m e. S } y < z ) <-> ( y < x -> E. z e. { m e. RR | -u m e. S } y < z ) ) )
133	132	ralbidv 2368	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { m e. ZZ | -u m e. S } y < z ) <-> A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { m e. RR | -u m e. S } y < z ) ) )
134	130, 133	anbi12d 456	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A. y e. { m e. ZZ | -u m e. S } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { m e. ZZ | -u m e. S } y < z ) ) <-> ( A. y e. { m e. RR | -u m e. S } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { m e. RR | -u m e. S } y < z ) ) ) )
135	134	rexbidv 2369	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. ZZ ( A. y e. { m e. ZZ | -u m e. S } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { m e. ZZ | -u m e. S } y < z ) ) <-> E. x e. ZZ ( A. y e. { m e. RR | -u m e. S } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { m e. RR | -u m e. S } y < z ) ) ) )
136	107, 135	mpbid 145	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. ZZ ( A. y e. { m e. RR | -u m e. S } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { m e. RR | -u m e. S } y < z ) ) )
137		ssrexv 3059	. . . 4 |- ( ZZ C_ RR -> ( E. x e. ZZ ( A. y e. { m e. RR | -u m e. S } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { m e. RR | -u m e. S } y < z ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. { m e. RR | -u m e. S } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { m e. RR | -u m e. S } y < z ) ) ) )
138	1, 136, 137	mpsyl 64	. . 3 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. { m e. RR | -u m e. S } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { m e. RR | -u m e. S } y < z ) ) )
139		ssrab2 3079	. . . 4 |- { m e. RR | -u m e. S } C_ RR
140	139	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> { m e. RR | -u m e. S } C_ RR )
141	138, 140	supinfneg 8683	. 2 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. { w e. RR | -u w e. { m e. RR | -u m e. S } } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { w e. RR | -u w e. { m e. RR | -u m e. S } } z < y ) ) )
142		elrabi 2746	. . . . . . 7 |- ( a e. { w e. RR | -u w e. { m e. RR | -u m e. S } } -> a e. RR )
143		elrabi 2746	. . . . . . . . 9 |- ( a e. { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps } -> a e. ( ZZ>= ` M ) )
144	143, 3	eleq2s 2173	. . . . . . . 8 |- ( a e. S -> a e. ( ZZ>= ` M ) )
145		eluzelre 8629	. . . . . . . 8 |- ( a e. ( ZZ>= ` M ) -> a e. RR )
146	144, 145	syl 14	. . . . . . 7 |- ( a e. S -> a e. RR )
147		negeq 7301	. . . . . . . . . 10 |- ( w = a -> -u w = -u a )
148	147	eleq1d 2147	. . . . . . . . 9 |- ( w = a -> ( -u w e. { m e. RR | -u m e. S } <-> -u a e. { m e. RR | -u m e. S } ) )
149	148	elrab3 2750	. . . . . . . 8 |- ( a e. RR -> ( a e. { w e. RR | -u w e. { m e. RR | -u m e. S } } <-> -u a e. { m e. RR | -u m e. S } ) )
150		renegcl 7369	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. RR -> -u a e. RR )
151	150	biantrurd 299	. . . . . . . . 9 |- ( a e. RR -> ( -u -u a e. S <-> ( -u a e. RR /\ -u -u a e. S ) ) )
152		negeq 7301	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = -u a -> -u m = -u -u a )
153	152	eleq1d 2147	. . . . . . . . . 10 |- ( m = -u a -> ( -u m e. S <-> -u -u a e. S ) )
154	153	elrab 2749	. . . . . . . . 9 |- ( -u a e. { m e. RR | -u m e. S } <-> ( -u a e. RR /\ -u -u a e. S ) )
155	151, 154	syl6rbbr 197	. . . . . . . 8 |- ( a e. RR -> ( -u a e. { m e. RR | -u m e. S } <-> -u -u a e. S ) )
156		recn 7106	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. RR -> a e. CC )
157	156	negnegd 7410	. . . . . . . . 9 |- ( a e. RR -> -u -u a = a )
158	157	eleq1d 2147	. . . . . . . 8 |- ( a e. RR -> ( -u -u a e. S <-> a e. S ) )
159	149, 155, 158	3bitrd 212	. . . . . . 7 |- ( a e. RR -> ( a e. { w e. RR | -u w e. { m e. RR | -u m e. S } } <-> a e. S ) )
160	142, 146, 159	pm5.21nii 652	. . . . . 6 |- ( a e. { w e. RR | -u w e. { m e. RR | -u m e. S } } <-> a e. S )
161	160	eqriv 2078	. . . . 5 |- { w e. RR | -u w e. { m e. RR | -u m e. S } } = S
162	161	raleqi 2553	. . . 4 |- ( A. y e. { w e. RR | -u w e. { m e. RR | -u m e. S } } -. y < x <-> A. y e. S -. y < x )
163	161	rexeqi 2554	. . . . . 6 |- ( E. z e. { w e. RR | -u w e. { m e. RR | -u m e. S } } z < y <-> E. z e. S z < y )
164	163	imbi2i 224	. . . . 5 |- ( ( x < y -> E. z e. { w e. RR | -u w e. { m e. RR | -u m e. S } } z < y ) <-> ( x < y -> E. z e. S z < y ) )
165	164	ralbii 2372	. . . 4 |- ( A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { w e. RR | -u w e. { m e. RR | -u m e. S } } z < y ) <-> A. y e. RR ( x < y -> E. z e. S z < y ) )
166	162, 165	anbi12i 447	. . 3 |- ( ( A. y e. { w e. RR | -u w e. { m e. RR | -u m e. S } } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { w e. RR | -u w e. { m e. RR | -u m e. S } } z < y ) ) <-> ( A. y e. S -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. S z < y ) ) )
167	166	rexbii 2373	. 2 |- ( E. x e. RR ( A. y e. { w e. RR | -u w e. { m e. RR | -u m e. S } } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { w e. RR | -u w e. { m e. RR | -u m e. S } } z < y ) ) <-> E. x e. RR ( A. y e. S -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. S z < y ) ) )
168	141, 167	sylib 120	1 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. S -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. S z < y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 661  DECID wdc 775   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   E.wrex 2349   {crab 2352   [.wsbc 2815   C_ wss 2973   class class class wbr 3785   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   CCcc 6979   RRcr 6980   1c1 6982   + caddc 6984   < clt 7153   <_ cle 7154   -ucneg 7280   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619   ...cfz 9029

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-fz 9030  df-fzo 9153

This theorem is referenced by:  infssuzledc  10346  infssuzcldc  10347