Theorem dfn2 8301

Description: The set of positive integers defined in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 23-Sep-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dfn2	⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})

Proof of Theorem dfn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 8289	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2	1	difeq1i 3086	. 2 ⊢ (ℕ0 ∖ {0}) = ((ℕ ∪ {0}) ∖ {0})
3		difun2 3322	. 2 ⊢ ((ℕ ∪ {0}) ∖ {0}) = (ℕ ∖ {0})
4		0nnn 8066	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
5		difsn 3523	. . 3 ⊢ (¬ 0 ∈ ℕ → (ℕ ∖ {0}) = ℕ)
6	4, 5	ax-mp 7	. 2 ⊢ (ℕ ∖ {0}) = ℕ
7	2, 3, 6	3eqtrri 2106	1 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   ∖ cdif 2970   ∪ cun 2971  {csn 3398  0cc0 6981  ℕcn 8039  ℕ₀cn0 8288

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1re 7070  ax-addrcl 7073  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-cnv 4371  df-iota 4887  df-fv 4930  df-ov 5535  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-inn 8040  df-n0 8289

This theorem is referenced by:  elnnne0  8302  nn0supp  8340  facnn  9654  fac0  9655  fzo0dvdseq  10257