Theorem fac0 9655

Description: The factorial of 0. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fac0	⊢ (!‘0) = 1

Proof of Theorem fac0

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 7113	. 2 ⊢ 0 ∈ V
2		1ex 7114	. 2 ⊢ 1 ∈ V
3		df-fac 9653	. . 3 ⊢ ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I , ℂ))
4		nnuz 8654	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
5		dfn2 8301	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
6	4, 5	eqtr3i 2103	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℕ0 ∖ {0})
7	6	reseq2i 4627	. . . . 5 ⊢ (seq1( · , I , ℂ) ↾ (ℤ≥‘1)) = (seq1( · , I , ℂ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))
8		1zzd 8378	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
9		cnex 7097	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
10	9	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ V)
11		fvi 5251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) = 𝑓)
12	11	eleq1d 2147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → (( I ‘𝑓) ∈ (ℤ≥‘1) ↔ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘1)))
13	12	ibir 175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ (ℤ≥‘1))
14		eluzelcn 8630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( I ‘𝑓) ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
16	15	adantl 271	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘1)) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
17		mulcl 7100	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
18	17	adantl 271	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ)) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
19	8, 10, 16, 18	iseqfn 9441	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → seq1( · , I , ℂ) Fn (ℤ≥‘1))
20	19	trud 1293	. . . . . 6 ⊢ seq1( · , I , ℂ) Fn (ℤ≥‘1)
21		fnresdm 5028	. . . . . 6 ⊢ (seq1( · , I , ℂ) Fn (ℤ≥‘1) → (seq1( · , I , ℂ) ↾ (ℤ≥‘1)) = seq1( · , I , ℂ))
22	20, 21	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ (seq1( · , I , ℂ) ↾ (ℤ≥‘1)) = seq1( · , I , ℂ)
23	7, 22	eqtr3i 2103	. . . 4 ⊢ (seq1( · , I , ℂ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})) = seq1( · , I , ℂ)
24	23	uneq2i 3123	. . 3 ⊢ ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I , ℂ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))) = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I , ℂ))
25	3, 24	eqtr4i 2104	. 2 ⊢ ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I , ℂ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
26	1, 2, 25	fvsnun1 5381	1 ⊢ (!‘0) = 1

Syntax hints:   ∧ wa 102   = wceq 1284  ⊤wtru 1285   ∈ wcel 1433  Vcvv 2601   ∖ cdif 2970   ∪ cun 2971  {csn 3398  ⟨cop 3401   I cid 4043   ↾ cres 4365   Fn wfn 4917  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532  ℂcc 6979  0cc0 6981  1c1 6982   · cmul 6986  ℕcn 8039  ℕ₀cn0 8288  ℤ_≥cuz 8619  seqcseq 9431  !cfa 9652

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-iseq 9432  df-fac 9653

This theorem is referenced by:  facp1  9657  faccl  9662  facwordi  9667  faclbnd  9668  facubnd  9672  bcn0  9682  ibcval5  9690  prmfac1  10531