Theorem divalglemqt 10319

Description: Lemma for divalg 10324. The 𝑄 = 𝑇 case involved in showing uniqueness. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglemqt.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
divalglemqt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
divalglemqt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
divalglemqt.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
divalglemqt.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℤ)
divalglemqt.qt	⊢ (𝜑 → 𝑄 = 𝑇)
divalglemqt.eq	⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
divalglemqt	⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝑆)

Proof of Theorem divalglemqt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglemqt.qt	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = 𝑇)
2	1	oveq1d 5547	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · 𝐷) = (𝑇 · 𝐷))
3		divalglemqt.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
4		divalglemqt.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
5	3, 4	zmulcld 8475	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · 𝐷) ∈ ℤ)
6	5	zcnd 8470	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · 𝐷) ∈ ℂ)
7	2, 6	eqeltrrd 2156	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐷) ∈ ℂ)
8		divalglemqt.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
9	8	zcnd 8470	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
10		divalglemqt.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 8470	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
12	2	oveq1d 5547	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑅))
13		divalglemqt.eq	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))
14	12, 13	eqtr3d 2115	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))
15	7, 9, 11, 14	addcanad 7294	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  (class class class)co 5532  ℂcc 6979   + caddc 6984   · cmul 6986  ℤcz 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352

This theorem is referenced by:  divalglemeunn  10321  divalglemeuneg  10323