Theorem fnom 6053

Description: Functionality and domain of ordinal multiplication. (Contributed by NM, 26-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnom	⊢ ·𝑜 Fn (On × On)

Proof of Theorem fnom

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-omul 6029	. 2 ⊢ ·𝑜 = (𝑥 ∈ On, 𝑦 ∈ On ↦ (rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +𝑜 𝑥)), ∅)‘𝑦))
2		vex 2604	. . 3 ⊢ 𝑦 ∈ V
3		0ex 3905	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
4		vex 2604	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
5		omfnex 6052	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +𝑜 𝑥)) Fn V)
6	4, 5	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +𝑜 𝑥)) Fn V
7	3, 6	rdgexg 5999	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ V → (rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +𝑜 𝑥)), ∅)‘𝑦) ∈ V)
8	2, 7	ax-mp 7	. 2 ⊢ (rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +𝑜 𝑥)), ∅)‘𝑦) ∈ V
9	1, 8	fnmpt2i 5850	1 ⊢ ·𝑜 Fn (On × On)

Syntax hints:   ∈ wcel 1433  Vcvv 2601  ∅c0 3251   ↦ cmpt 3839  Oncon0 4118   × cxp 4361   Fn wfn 4917  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532  reccrdg 5979   +_𝑜 coa 6021   ·_𝑜 comu 6022

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-oadd 6028  df-omul 6029

This theorem is referenced by:  dmmulpi  6516