Theorem 0ex 3905

Description: The Null Set Axiom of ZF set theory: the empty set exists. Corollary 5.16 of [TakeutiZaring] p. 20. For the unabbreviated version, see ax-nul 3904. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 9-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
0ex	⊢ ∅ ∈ V

Proof of Theorem 0ex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-nul 3904	. . 3 ⊢ ∃𝑥∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ 𝑥
2		eq0 3266	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ ↔ ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ 𝑥)
3	2	exbii 1536	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 = ∅ ↔ ∃𝑥∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ 𝑥)
4	1, 3	mpbir 144	. 2 ⊢ ∃𝑥 𝑥 = ∅
5	4	issetri 2608	1 ⊢ ∅ ∈ V

Syntax hints:  ¬ wn 3  ∀wal 1282   = wceq 1284  ∃wex 1421   ∈ wcel 1433  Vcvv 2601  ∅c0 3251

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-nul 3904

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-dif 2975  df-nul 3252

This theorem is referenced by:  0elpw  3938  0nep0  3939  iin0r  3943  intv  3944  snexprc  3958  p0ex  3959  0elon  4147  onm  4156  ordtriexmidlem2  4264  ordtriexmid  4265  ordtri2orexmid  4266  ontr2exmid  4268  onsucsssucexmid  4270  onsucelsucexmidlem1  4271  onsucelsucexmid  4273  regexmidlem1  4276  reg2exmidlema  4277  ordsoexmid  4305  0elsucexmid  4308  ordpwsucexmid  4313  ordtri2or2exmid  4314  peano1  4335  finds  4341  finds2  4342  0elnn  4358  opthprc  4409  nfunv  4953  fun0  4977  acexmidlema  5523  acexmidlemb  5524  acexmidlemab  5526  ovprc  5560  1st0  5791  2nd0  5792  brtpos0  5890  reldmtpos  5891  tfr0  5960  rdg0  5997  frec0g  6006  1n0  6039  el1o  6043  fnom  6053  omexg  6054  om0  6061  nnsucsssuc  6094  en0  6298  ensn1  6299  en1  6302  2dom  6308  xp1en  6320  endisj  6321  php5dom  6349  ssfilem  6360  ssfiexmid  6361  domfiexmid  6363  diffitest  6371  ac6sfi  6379  indpi  6532  frecfzennn  9419  bj-d0clsepcl  10720  bj-indint  10726  bj-bdfindis  10742  bj-inf2vnlem1  10765