Theorem fvexg 5214

Description: Evaluating a set function at a set exists. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 28-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvexg	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem fvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2610	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐴 ∈ V)
2		fvssunirng 5210	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹)
4		rnexg 4615	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
5		uniexg 4193	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ∈ V → ∪ ran 𝐹 ∈ V)
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ∪ ran 𝐹 ∈ V)
7		ssexg 3917	. 2 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹 ∧ ∪ ran 𝐹 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
8	3, 6, 7	syl2anr 284	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∈ wcel 1433  Vcvv 2601   ⊆ wss 2973  ∪ cuni 3601  ran crn 4364  ‘cfv 4922

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-cnv 4371  df-dm 4373  df-rn 4374  df-iota 4887  df-fv 4930

This theorem is referenced by:  fvex  5215  ovexg  5559  rdgivallem  5991  frecabex  6007  addvalex  7012  frecuzrdgrrn  9410  frec2uzrdg  9411  frecuzrdgrom  9412  frecuzrdgsuc  9417  absval  9887  climmpt  10139