Theorem fvimacnv 5303

Description: The argument of a function value belongs to the preimage of any class containing the function value. Raph Levien remarks: "This proof is unsatisfying, because it seems to me that funimass2 4997 could probably be strengthened to a biconditional." (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
fvimacnv	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)))

Proof of Theorem fvimacnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfvop 5300	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩ ∈ 𝐹)
2		funfvex 5212	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
3		opelcnvg 4533	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (⟨(𝐹‘𝐴), 𝐴⟩ ∈ ◡𝐹 ↔ ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩ ∈ 𝐹))
4	2, 3	sylancom 411	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (⟨(𝐹‘𝐴), 𝐴⟩ ∈ ◡𝐹 ↔ ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩ ∈ 𝐹))
5	1, 4	mpbird 165	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ⟨(𝐹‘𝐴), 𝐴⟩ ∈ ◡𝐹)
6		elimasng 4713	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐴 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}) ↔ ⟨(𝐹‘𝐴), 𝐴⟩ ∈ ◡𝐹))
7	2, 6	sylancom 411	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐴 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}) ↔ ⟨(𝐹‘𝐴), 𝐴⟩ ∈ ◡𝐹))
8	5, 7	mpbird 165	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}))
9		snssg 3522	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ V → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ {(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵))
10	2, 9	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ {(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵))
11		imass2 4721	. . . . . . 7 ⊢ ({(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵 → (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}) ⊆ (◡𝐹 “ 𝐵))
12	10, 11	syl6bi 161	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}) ⊆ (◡𝐹 “ 𝐵)))
13	12	imp 122	. . . . 5 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}) ⊆ (◡𝐹 “ 𝐵))
14	13	sseld 2998	. . . 4 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}) → 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)))
15	14	ex 113	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}) → 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵))))
16	8, 15	mpid 41	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)))
17		fvimacnvi 5302	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)
18	17	ex 113	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵))
19	18	adantr 270	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵))
20	16, 19	impbid 127	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∈ wcel 1433  Vcvv 2601   ⊆ wss 2973  {csn 3398  ⟨cop 3401  ^◡ccnv 4362  dom cdm 4363   “ cima 4366  Fun wfun 4916  ‘cfv 4922

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-sbc 2816  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-fv 4930

This theorem is referenced by:  funimass3  5304  elpreima  5307