Theorem lt2mul2div 7957

Description: 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
lt2mul2div	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐷) ↔ (𝐴 / 𝐷) < (𝐶 / 𝐵)))

Proof of Theorem lt2mul2div

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 497	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → 𝐶 ∈ ℝ)
2	1	recnd 7147	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → 𝐶 ∈ ℂ)
3		simprrl 505	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℝ)
4	3	recnd 7147	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcomd 7140	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → (𝐶 · 𝐷) = (𝐷 · 𝐶))
6	5	oveq1d 5547	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐶 · 𝐷) / 𝐵) = ((𝐷 · 𝐶) / 𝐵))
7		simplrl 501	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → 𝐵 ∈ ℝ)
8	7	recnd 7147	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → 𝐵 ∈ ℂ)
9		simplrr 502	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → 0 < 𝐵)
10	7, 9	gt0ap0d 7728	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → 𝐵 # 0)
11	4, 2, 8, 10	divassapd 7912	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐷 · 𝐶) / 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 / 𝐵)))
12	6, 11	eqtrd 2113	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐶 · 𝐷) / 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 / 𝐵)))
13	12	breq2d 3797	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → (𝐴 < ((𝐶 · 𝐷) / 𝐵) ↔ 𝐴 < (𝐷 · (𝐶 / 𝐵))))
14		simpll 495	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → 𝐴 ∈ ℝ)
15	1, 3	remulcld 7149	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℝ)
16		simplr 496	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
17		ltmuldiv 7952	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝐷) ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐷) ↔ 𝐴 < ((𝐶 · 𝐷) / 𝐵)))
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1169	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐷) ↔ 𝐴 < ((𝐶 · 𝐷) / 𝐵)))
19	1, 7, 10	redivclapd 7920	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
20		simprr 498	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))
21		ltdivmul 7954	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷)) → ((𝐴 / 𝐷) < (𝐶 / 𝐵) ↔ 𝐴 < (𝐷 · (𝐶 / 𝐵))))
22	14, 19, 20, 21	syl3anc 1169	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐴 / 𝐷) < (𝐶 / 𝐵) ↔ 𝐴 < (𝐷 · (𝐶 / 𝐵))))
23	13, 18, 22	3bitr4d 218	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐷) ↔ (𝐴 / 𝐷) < (𝐶 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∈ wcel 1433   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532  ℝcr 6980  0cc0 6981   · cmul 6986   < clt 7153   / cdiv 7760

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761

This theorem is referenced by:  lt2mul2divd  8836