Theorem ltnnnq 6613

Description: Ordering of positive integers via <_N or <_Q is equivalent. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ltnnnq	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ [⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1𝑜⟩] ~Q ))

Proof of Theorem ltnnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 107	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → 𝐴 ∈ N)
2		1pi 6505	. . . 4 ⊢ 1𝑜 ∈ N
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → 1𝑜 ∈ N)
4		simpr 108	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → 𝐵 ∈ N)
5		ordpipqqs 6564	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N)) → ([⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1𝑜⟩] ~Q ↔ (𝐴 ·N 1𝑜) <N (1𝑜 ·N 𝐵)))
6	1, 3, 4, 3, 5	syl22anc 1170	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ([⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1𝑜⟩] ~Q ↔ (𝐴 ·N 1𝑜) <N (1𝑜 ·N 𝐵)))
7		mulidpi 6508	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ·N 1𝑜) = 𝐴)
8	1, 7	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 1𝑜) = 𝐴)
9		mulcompig 6521	. . . . 5 ⊢ ((1𝑜 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (1𝑜 ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 1𝑜))
10	2, 4, 9	sylancr 405	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (1𝑜 ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 1𝑜))
11		mulidpi 6508	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ N → (𝐵 ·N 1𝑜) = 𝐵)
12	4, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐵 ·N 1𝑜) = 𝐵)
13	10, 12	eqtrd 2113	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (1𝑜 ·N 𝐵) = 𝐵)
14	8, 13	breq12d 3798	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 ·N 1𝑜) <N (1𝑜 ·N 𝐵) ↔ 𝐴 <N 𝐵))
15	6, 14	bitr2d 187	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ [⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1𝑜⟩] ~Q ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ⟨cop 3401   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532  1_𝑜c1o 6017  [cec 6127  Ncnpi 6462   ·_N cmi 6464   <_N clti 6465   ~_Q ceq 6469   <_Q cltq 6475

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-eprel 4044  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-1o 6024  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-mi 6496  df-lti 6497  df-enq 6537  df-nqqs 6538  df-ltnqqs 6543

This theorem is referenced by:  caucvgprlemk  6855  caucvgprprlemk  6873  ltrennb  7022