Theorem mpt2fvexi 5852

Description: Sufficient condition for an operation maps-to notation to be set-like. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpt2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
fnmpt2i.2	⊢ 𝐶 ∈ V
mpt2fvexi.3	⊢ 𝑅 ∈ V
mpt2fvexi.4	⊢ 𝑆 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mpt2fvexi	⊢ (𝑅𝐹𝑆) ∈ V

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpt2fvexi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmpt2i.2	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
2	1	gen2 1379	. 2 ⊢ ∀𝑥∀𝑦 𝐶 ∈ V
3		mpt2fvexi.3	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ V
4		mpt2fvexi.4	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
5		fmpt2.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
6	5	mpt2fvex 5849	. 2 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦 𝐶 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝑅𝐹𝑆) ∈ V)
7	2, 3, 4, 6	mp3an 1268	1 ⊢ (𝑅𝐹𝑆) ∈ V

Syntax hints:  ∀wal 1282   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  Vcvv 2601  (class class class)co 5532   ↦ cmpt2 5534

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fo 4928  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788

This theorem is referenced by: (None)