Theorem nn1suc 8058

Description: If a statement holds for 1 and also holds for a successor, it holds for all positive integers. The first three hypotheses give us the substitution instances we need; the last two show that it holds for 1 and for a successor. (Contributed by NM, 11-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn1suc.1	⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜓))
nn1suc.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜒))
nn1suc.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜃))
nn1suc.5	⊢ 𝜓
nn1suc.6	⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝜒)

Assertion

Ref	Expression
nn1suc	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝜃)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)

Proof of Theorem nn1suc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn1suc.5	. . . . 5 ⊢ 𝜓
2		1ex 7114	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
3		nn1suc.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	2, 3	sbcie 2848	. . . . 5 ⊢ ([1 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)
5	1, 4	mpbir 144	. . . 4 ⊢ [1 / 𝑥]𝜑
6		1nn 8050	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		eleq1 2141	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
8	6, 7	mpbiri 166	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 1 → 𝐴 ∈ ℕ)
9		nn1suc.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜃))
10	9	sbcieg 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜃))
11	8, 10	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1 → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜃))
12		dfsbcq 2817	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1 → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [1 / 𝑥]𝜑))
13	11, 12	bitr3d 188	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝜃 ↔ [1 / 𝑥]𝜑))
14	5, 13	mpbiri 166	. . 3 ⊢ (𝐴 = 1 → 𝜃)
15	14	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 → 𝜃))
16		elisset 2613	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − 1) ∈ ℕ → ∃𝑦 𝑦 = (𝐴 − 1))
17		eleq1 2141	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐴 − 1) → (𝑦 ∈ ℕ ↔ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))
18	17	pm5.32ri 442	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (𝐴 − 1)) ↔ ((𝐴 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (𝐴 − 1)))
19		nn1suc.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝜒)
20	19	adantr 270	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (𝐴 − 1)) → 𝜒)
21		nnre 8046	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
22		peano2re 7244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
23		nn1suc.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜒))
24	23	sbcieg 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 + 1) ∈ ℝ → ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜒))
25	21, 22, 24	3syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜒))
26	25	adantr 270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (𝐴 − 1)) → ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜒))
27		oveq1 5539	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐴 − 1) → (𝑦 + 1) = ((𝐴 − 1) + 1))
28	27	sbceq1d 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐴 − 1) → ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑))
29	28	adantl 271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (𝐴 − 1)) → ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑))
30	26, 29	bitr3d 188	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (𝐴 − 1)) → (𝜒 ↔ [((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑))
31	20, 30	mpbid 145	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (𝐴 − 1)) → [((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑)
32	18, 31	sylbir 133	. . . 4 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (𝐴 − 1)) → [((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑)
33	16, 32	exlimddv 1819	. . 3 ⊢ ((𝐴 − 1) ∈ ℕ → [((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑)
34		nncn 8047	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
35		ax-1cn 7069	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
36		npcan 7317	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
37	34, 35, 36	sylancl 404	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
38	37	sbceq1d 2820	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ([((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
39	38, 10	bitrd 186	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ([((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜃))
40	33, 39	syl5ib 152	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 − 1) ∈ ℕ → 𝜃))
41		nn1m1nn 8057	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ∨ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))
42	15, 40, 41	mpjaod 670	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝜃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  [wsbc 2815  (class class class)co 5532  ℂcc 6979  ℝcr 6980  1c1 6982   + caddc 6984   − cmin 7279  ℕcn 8039

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-sub 7281  df-inn 8040

This theorem is referenced by: (None)