Theorem opelres 4635

Description: Ordered pair membership in a restriction. Exercise 13 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 13-Nov-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
opelres.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
opelres	⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 ↾ 𝐷) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem opelres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 4375	. . 3 ⊢ (𝐶 ↾ 𝐷) = (𝐶 ∩ (𝐷 × V))
2	1	eleq2i 2145	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 ↾ 𝐷) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 ∩ (𝐷 × V)))
3		elin 3155	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 ∩ (𝐷 × V)) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐷 × V)))
4		opelres.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5		opelxp 4392	. . . 4 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐷 × V) ↔ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐵 ∈ V))
6	4, 5	mpbiran2 882	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐷 × V) ↔ 𝐴 ∈ 𝐷)
7	6	anbi2i 444	. 2 ⊢ ((⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐷 × V)) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷))
8	2, 3, 7	3bitri 204	1 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 ↾ 𝐷) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷))

Syntax hints:   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∈ wcel 1433  Vcvv 2601   ∩ cin 2972  ⟨cop 3401   × cxp 4361   ↾ cres 4365

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-opab 3840  df-xp 4369  df-res 4375

This theorem is referenced by:  brres  4636  opelresg  4637  opres  4639  dmres  4650  elres  4664  relssres  4666  resiexg  4673  iss  4674  asymref  4730  ssrnres  4783  cnvresima  4830  ressn  4878  funssres  4962  fcnvres  5093