Theorem z2ge 8893

Description: There exists an integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
z2ge	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem z2ge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 496	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		simpr 108	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁)
3	1	zred 8469	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
4	3	leidd 7615	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑁)
5		breq2 3789	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝑘 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
6		breq2 3789	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑁 ≤ 𝑘 ↔ 𝑁 ≤ 𝑁))
7	5, 6	anbi12d 456	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁)))
8	7	rspcev 2701	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘))
9	1, 2, 4, 8	syl12anc 1167	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘))
10		simpll 495	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
11	10	zred 8469	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
12	11	leidd 7615	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑀)
13		simpr 108	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑁 ≤ 𝑀)
14		breq2 3789	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑀 ≤ 𝑘 ↔ 𝑀 ≤ 𝑀))
15		breq2 3789	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑁 ≤ 𝑘 ↔ 𝑁 ≤ 𝑀))
16	14, 15	anbi12d 456	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) ↔ (𝑀 ≤ 𝑀 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
17	16	rspcev 2701	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑀 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘))
18	10, 12, 13, 17	syl12anc 1167	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘))
19		zletric 8395	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 ≤ 𝑀))
20	9, 18, 19	mpjaodan 744	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ∃wrex 2349   class class class wbr 3785   ≤ cle 7154  ℤcz 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352

This theorem is referenced by: (None)