Theorem 1vwmgr 27140

Description: Every graph with one vertex (which may be connect with itself by (multiple) loops!) is a windmill graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2017.) (Revised by AV, 31-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
1vwmgr	|- ( ( A e. X /\ V = { A } ) -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) )

Distinct variable groups:   A, h, v, w   h, E   h, V, v, w

Allowed substitution hints:   E( w, v)   X( w, v, h)

Proof of Theorem 1vwmgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 4076	. . . 4 |- A. v e. (/) ( { v , A } e. E /\ E! w e. ( { A } \ { A } ) { v , w } e. E )
2		sneq 4187	. . . . . . . 8 |- ( h = A -> { h } = { A } )
3	2	difeq2d 3728	. . . . . . 7 |- ( h = A -> ( { A } \ { h } ) = ( { A } \ { A } ) )
4		difid 3948	. . . . . . 7 |- ( { A } \ { A } ) = (/)
5	3, 4	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( h = A -> ( { A } \ { h } ) = (/) )
6		preq2 4269	. . . . . . . 8 |- ( h = A -> { v , h } = { v , A } )
7	6	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( h = A -> ( { v , h } e. E <-> { v , A } e. E ) )
8		reueq1 3140	. . . . . . . 8 |- ( ( { A } \ { h } ) = ( { A } \ { A } ) -> ( E! w e. ( { A } \ { h } ) { v , w } e. E <-> E! w e. ( { A } \ { A } ) { v , w } e. E ) )
9	3, 8	syl 17	. . . . . . 7 |- ( h = A -> ( E! w e. ( { A } \ { h } ) { v , w } e. E <-> E! w e. ( { A } \ { A } ) { v , w } e. E ) )
10	7, 9	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( h = A -> ( ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( { A } \ { h } ) { v , w } e. E ) <-> ( { v , A } e. E /\ E! w e. ( { A } \ { A } ) { v , w } e. E ) ) )
11	5, 10	raleqbidv 3152	. . . . 5 |- ( h = A -> ( A. v e. ( { A } \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( { A } \ { h } ) { v , w } e. E ) <-> A. v e. (/) ( { v , A } e. E /\ E! w e. ( { A } \ { A } ) { v , w } e. E ) ) )
12	11	rexsng 4219	. . . 4 |- ( A e. X -> ( E. h e. { A } A. v e. ( { A } \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( { A } \ { h } ) { v , w } e. E ) <-> A. v e. (/) ( { v , A } e. E /\ E! w e. ( { A } \ { A } ) { v , w } e. E ) ) )
13	1, 12	mpbiri 248	. . 3 |- ( A e. X -> E. h e. { A } A. v e. ( { A } \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( { A } \ { h } ) { v , w } e. E ) )
14	13	adantr 481	. 2 |- ( ( A e. X /\ V = { A } ) -> E. h e. { A } A. v e. ( { A } \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( { A } \ { h } ) { v , w } e. E ) )
15		difeq1 3721	. . . . 5 |- ( V = { A } -> ( V \ { h } ) = ( { A } \ { h } ) )
16		reueq1 3140	. . . . . . 7 |- ( ( V \ { h } ) = ( { A } \ { h } ) -> ( E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E <-> E! w e. ( { A } \ { h } ) { v , w } e. E ) )
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 |- ( V = { A } -> ( E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E <-> E! w e. ( { A } \ { h } ) { v , w } e. E ) )
18	17	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( V = { A } -> ( ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) <-> ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( { A } \ { h } ) { v , w } e. E ) ) )
19	15, 18	raleqbidv 3152	. . . 4 |- ( V = { A } -> ( A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) <-> A. v e. ( { A } \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( { A } \ { h } ) { v , w } e. E ) ) )
20	19	rexeqbi1dv 3147	. . 3 |- ( V = { A } -> ( E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) <-> E. h e. { A } A. v e. ( { A } \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( { A } \ { h } ) { v , w } e. E ) ) )
21	20	adantl 482	. 2 |- ( ( A e. X /\ V = { A } ) -> ( E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) <-> E. h e. { A } A. v e. ( { A } \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( { A } \ { h } ) { v , w } e. E ) ) )
22	14, 21	mpbird 247	1 |- ( ( A e. X /\ V = { A } ) -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   \ cdif 3571   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-sn 4178  df-pr 4180

This theorem is referenced by:  1to2vfriswmgr  27143