Theorem 3vfriswmgrlem 27141

Description: Lemma for 3vfriswmgr 27142. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2017.) (Revised by AV, 31-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3vfriswmgr.v	|- V = (Vtx ` G )
3vfriswmgr.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
3vfriswmgrlem	|- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( { A , B } e. E -> E! w e. { A , B } { A , w } e. E ) )

Distinct variable groups:   w, A   w, B   w, C   w, E   w, G   w, V   w, X   w, Y

Proof of Theorem 3vfriswmgrlem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		animorr 506	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> ( { A , A } e. E \/ { A , B } e. E ) )
2		preq2 4269	. . . . . . . . . 10 |- ( w = A -> { A , w } = { A , A } )
3	2	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( w = A -> ( { A , w } e. E <-> { A , A } e. E ) )
4		preq2 4269	. . . . . . . . . 10 |- ( w = B -> { A , w } = { A , B } )
5	4	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( w = B -> ( { A , w } e. E <-> { A , B } e. E ) )
6	3, 5	rexprg 4235	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. X /\ B e. Y ) -> ( E. w e. { A , B } { A , w } e. E <-> ( { A , A } e. E \/ { A , B } e. E ) ) )
7	6	3adant3 1081	. . . . . . 7 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) -> ( E. w e. { A , B } { A , w } e. E <-> ( { A , A } e. E \/ { A , B } e. E ) ) )
8	7	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> ( E. w e. { A , B } { A , w } e. E <-> ( { A , A } e. E \/ { A , B } e. E ) ) )
9	1, 8	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> E. w e. { A , B } { A , w } e. E )
10		df-rex 2918	. . . . 5 |- ( E. w e. { A , B } { A , w } e. E <-> E. w ( w e. { A , B } /\ { A , w } e. E ) )
11	9, 10	sylib 208	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> E. w ( w e. { A , B } /\ { A , w } e. E ) )
12		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- w e. _V
13	12	elpr 4198	. . . . . . . 8 |- ( w e. { A , B } <-> ( w = A \/ w = B ) )
14		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
15	14	elpr 4198	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. { A , B } <-> ( y = A \/ y = B ) )
16		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> A = A )
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { A , A } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> A = A ) )
18	17	a1i13 27	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = A -> ( { A , A } e. E -> ( { A , A } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> A = A ) ) ) )
19		preq2 4269	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = A -> { A , y } = { A , A } )
20	19	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = A -> ( { A , y } e. E <-> { A , A } e. E ) )
21		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = A -> ( A = y <-> A = A ) )
22	21	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = A -> ( ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> A = y ) <-> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> A = A ) ) )
23	22	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = A -> ( ( { A , A } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> A = y ) ) <-> ( { A , A } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> A = A ) ) ) )
24	18, 20, 23	3imtr4d 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = A -> ( { A , y } e. E -> ( { A , A } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> A = y ) ) ) )
25		3vfriswmgr.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- E = (Edg ` G )
26	25	usgredgne 26098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( G e. USGraph /\ { A , A } e. E ) -> A =/= A )
27	26	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) /\ { A , A } e. E ) -> A =/= A )
28		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A =/= A <-> -. A = A )
29		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- A = A
30	29	pm2.24i 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( -. A = A -> A = B )
31	28, 30	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A =/= A -> A = B )
32	27, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) /\ { A , A } e. E ) -> A = B )
33	32	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) -> ( { A , A } e. E -> A = B ) )
34	33	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> ( { A , A } e. E -> A = B ) )
35	34	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { A , A } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> A = B ) )
36	35	2a1i 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = B -> ( { A , B } e. E -> ( { A , A } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> A = B ) ) ) )
37		preq2 4269	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = B -> { A , y } = { A , B } )
38	37	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = B -> ( { A , y } e. E <-> { A , B } e. E ) )
39		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = B -> ( A = y <-> A = B ) )
40	39	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = B -> ( ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> A = y ) <-> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> A = B ) ) )
41	40	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = B -> ( ( { A , A } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> A = y ) ) <-> ( { A , A } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> A = B ) ) ) )
42	36, 38, 41	3imtr4d 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = B -> ( { A , y } e. E -> ( { A , A } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> A = y ) ) ) )
43	24, 42	jaoi 394	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y = A \/ y = B ) -> ( { A , y } e. E -> ( { A , A } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> A = y ) ) ) )
44		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = A -> ( w = y <-> A = y ) )
45	44	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = A -> ( ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> w = y ) <-> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> A = y ) ) )
46	3, 45	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = A -> ( ( { A , w } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> w = y ) ) <-> ( { A , A } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> A = y ) ) ) )
47	46	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = A -> ( ( { A , y } e. E -> ( { A , w } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> w = y ) ) ) <-> ( { A , y } e. E -> ( { A , A } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> A = y ) ) ) ) )
48	43, 47	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = A -> ( ( y = A \/ y = B ) -> ( { A , y } e. E -> ( { A , w } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> w = y ) ) ) ) )
49	29	pm2.24i 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( -. A = A -> B = A )
50	28, 49	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A =/= A -> B = A )
51	27, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) /\ { A , A } e. E ) -> B = A )
52	51	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) -> ( { A , A } e. E -> B = A ) )
53	52	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> ( { A , A } e. E -> B = A ) )
54	53	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { A , A } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> B = A ) )
55	54	a1i13 27	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = A -> ( { A , A } e. E -> ( { A , B } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> B = A ) ) ) )
56		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = A -> ( B = y <-> B = A ) )
57	56	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = A -> ( ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> B = y ) <-> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> B = A ) ) )
58	57	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = A -> ( ( { A , B } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> B = y ) ) <-> ( { A , B } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> B = A ) ) ) )
59	55, 20, 58	3imtr4d 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = A -> ( { A , y } e. E -> ( { A , B } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> B = y ) ) ) )
60		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> B = B )
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { A , B } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> B = B ) )
62	61	a1i13 27	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = B -> ( { A , B } e. E -> ( { A , B } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> B = B ) ) ) )
63		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = B -> ( B = y <-> B = B ) )
64	63	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = B -> ( ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> B = y ) <-> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> B = B ) ) )
65	64	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = B -> ( ( { A , B } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> B = y ) ) <-> ( { A , B } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> B = B ) ) ) )
66	62, 38, 65	3imtr4d 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = B -> ( { A , y } e. E -> ( { A , B } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> B = y ) ) ) )
67	59, 66	jaoi 394	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y = A \/ y = B ) -> ( { A , y } e. E -> ( { A , B } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> B = y ) ) ) )
68		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = B -> ( w = y <-> B = y ) )
69	68	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = B -> ( ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> w = y ) <-> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> B = y ) ) )
70	5, 69	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = B -> ( ( { A , w } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> w = y ) ) <-> ( { A , B } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> B = y ) ) ) )
71	70	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = B -> ( ( { A , y } e. E -> ( { A , w } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> w = y ) ) ) <-> ( { A , y } e. E -> ( { A , B } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> B = y ) ) ) ) )
72	67, 71	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = B -> ( ( y = A \/ y = B ) -> ( { A , y } e. E -> ( { A , w } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> w = y ) ) ) ) )
73	48, 72	jaoi 394	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w = A \/ w = B ) -> ( ( y = A \/ y = B ) -> ( { A , y } e. E -> ( { A , w } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> w = y ) ) ) ) )
74	73	com3l 89	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y = A \/ y = B ) -> ( { A , y } e. E -> ( ( w = A \/ w = B ) -> ( { A , w } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> w = y ) ) ) ) )
75	15, 74	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { A , B } -> ( { A , y } e. E -> ( ( w = A \/ w = B ) -> ( { A , w } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> w = y ) ) ) ) )
76	75	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. { A , B } /\ { A , y } e. E ) -> ( ( w = A \/ w = B ) -> ( { A , w } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> w = y ) ) ) )
77	76	com3l 89	. . . . . . . 8 |- ( ( w = A \/ w = B ) -> ( { A , w } e. E -> ( ( y e. { A , B } /\ { A , y } e. E ) -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> w = y ) ) ) )
78	13, 77	sylbi 207	. . . . . . 7 |- ( w e. { A , B } -> ( { A , w } e. E -> ( ( y e. { A , B } /\ { A , y } e. E ) -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> w = y ) ) ) )
79	78	imp31 448	. . . . . 6 |- ( ( ( w e. { A , B } /\ { A , w } e. E ) /\ ( y e. { A , B } /\ { A , y } e. E ) ) -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> w = y ) )
80	79	com12 32	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> ( ( ( w e. { A , B } /\ { A , w } e. E ) /\ ( y e. { A , B } /\ { A , y } e. E ) ) -> w = y ) )
81	80	alrimivv 1856	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> A. w A. y ( ( ( w e. { A , B } /\ { A , w } e. E ) /\ ( y e. { A , B } /\ { A , y } e. E ) ) -> w = y ) )
82		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( w e. { A , B } <-> y e. { A , B } ) )
83		preq2 4269	. . . . . . 7 |- ( w = y -> { A , w } = { A , y } )
84	83	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( { A , w } e. E <-> { A , y } e. E ) )
85	82, 84	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( w e. { A , B } /\ { A , w } e. E ) <-> ( y e. { A , B } /\ { A , y } e. E ) ) )
86	85	eu4 2518	. . . 4 |- ( E! w ( w e. { A , B } /\ { A , w } e. E ) <-> ( E. w ( w e. { A , B } /\ { A , w } e. E ) /\ A. w A. y ( ( ( w e. { A , B } /\ { A , w } e. E ) /\ ( y e. { A , B } /\ { A , y } e. E ) ) -> w = y ) ) )
87	11, 81, 86	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> E! w ( w e. { A , B } /\ { A , w } e. E ) )
88		df-reu 2919	. . 3 |- ( E! w e. { A , B } { A , w } e. E <-> E! w ( w e. { A , B } /\ { A , w } e. E ) )
89	87, 88	sylibr 224	. 2 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> E! w e. { A , B } { A , w } e. E )
90	89	ex 450	1 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( { A , B } e. E -> E! w e. { A , B } { A , w } e. E ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E!weu 2470   =/= wne 2794   E.wrex 2913   E!wreu 2914   {cpr 4179   {ctp 4181   ` cfv 5888  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939   USGraph cusgr 26044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-edg 25940  df-umgr 25978  df-usgr 26046

This theorem is referenced by:  3vfriswmgr  27142